浮點數

• 浮點數：範圍大而不精確
• 本節內容：如何表示浮點數，浮點數的舍入，浮點數的運算

二進位制小數

• 小數的二進位制表示法只能表示哪些能構被寫成x × 2^y的數，其它值只能近似地表示
• 增加二進位制表示的長度即可提高表示的精度

IEEE浮點表示

• V = (-1)^s · M · 2^E

• s：sign

• M：尾數

• E：階碼，對浮點數加權

• 將浮點數的位表示劃分為三個段
  s | exp | frac
  exp: k位的階碼欄位
  frac: n位小數字段

• float：s：1位，exp：8位，frac：23位

• double：s：1位，exp：11位，frac：52位

（由階碼的值決定）

• exp != 0 && exp != 255：規格化

• exp == 0：非規格化

• exp == 255 and frac == 0：無窮大

• exp == 255 and frac != 0：NaN

• 規格化
  階碼欄位被解釋為一個以偏置值表示的有符號整數。值：E = e - Bias，E為無符號數，Bias = 2^(k - 1) - 1
  單精度：-126 ~ 127
  雙精度：-1022~1023
  M = 1 + f（隱含的以1開頭的表示）

• 非規格化
  E = 1 - Bias（使得其能進行平滑的變化）
  M = f（不包含隱藏的1）

1. 提供了一個表示0的方法
2. 表示非常接近0的數字

• 值 +0.0總有一個全為0的位表示

• 最小的正非規格化位表示：最低有效位為1，其它所有位為0，V = 2^(-n - 2^(k - 1) + 2)

• 最大的非規格化值是階碼全為0且小數字段全為1，V = (1 - 2^(-n))·2(-2^(k - 1) + 2)

• 最小的正規格化值：階碼欄位的最低有效位為1，其它位全為0。V = 2 ^ (-2^(k - 1) + 2)

• 最大的正規格化值：位表示符號位為0，階碼的最低有效位為0，其它全為1，V = (1 - 2^(-n-1)) · 2⁽²(k - 1))

• 一些東西

1. $1-Bias$使得變化更加平滑
2. float：$Bias=2^{k-1}-1=127$
3. 越靠近原點越稠密（浮點數能表示的數）
4. 將浮點數能表示的最小的數一直到無限大進行排列，發現若按照無符號整數進行解釋，依然是升序
5. 12345=>12345.0的轉換：12345=[11000000111001]，共14位，若用浮點數表示，在M位為$1.1000000111001_2$，忽略1，需要移動13位。又因為$E=e-Bias$，有$e=13+127=140=[10001100]$。加上符號位0，再將M尾部用0補足，得[01000110010000001110010000000000]
6. 一個具有n位小數的有效位數為(n+1)位（隱藏的1），因此不能準確描述的最小正整數的值為$2^{n+1}+1$

舍入

表示方法限制了浮點數的範圍與精度，因此浮點運算只能近似表示實數運算
使用舍入運算來找到最接近的匹配值

• 關鍵問題：在兩個可能值的中間確定舍入方向
  IEEE定義了四種不同的舍入方式。預設尋找最近的匹配值。其它三種用於計算上下界

• 向偶數舍入（向最近的匹配值舍入）：預設方式。將數字向上或向下舍入，使得結果的最低有效數字是偶數。這種方法將1.5與2.5均舍入為2

• 其它三種方式：向零舍入、向下舍入、向上舍入

• 向零舍入將負數向上舍入、正數向下舍入

• 為什麼偏偏要將向偶數舍入作為目標？
  若全部向上或向下舍入，最終得到的算術平均值將偏高或偏低
  向偶數舍入在大多數情況下避免了這種誤差

• 在不想舍入到整數的時候，也可以舍入到偶數。考慮最低有效位為奇數還是偶數。

• 向偶數舍入法能運用在二進位制小數上
  將最低有效位的值0認為是偶數，1認為是奇數
  若為可能的中間值（即距離頂部與底部的長度相等），則傾向於使最低有效位為0
  若不為可能的中間值，則舍入到最近的區域
  只有當二進位制小數的最後一位有效數字為1時才有效（即有小數部分）

浮點運算

浮點運算：定義某個運算$x{?}^{f}y=Round(x?y)$
對實際運算的精確結果進行舍入後的結果
實際使用一些小技巧來避免執行精確的計算，計算只要精確到能保證得到正確的舍入結果即可
當引數中有特殊值時，將通過一些特殊的規則進行計算

• 指定浮點運算優勢之一：可以獨立於任何具體的硬體或者軟體實現

浮點加法

可交換、單調性、不可結合

• 實數的加法也構成了阿貝爾群，但是舍入會對其造成影響

• 大多數值在浮點加法下有逆元：$x{+}^f-x=0$（無窮與NaN是例外，因為$NaN{+}^{f}x=NaN$），也是可交換的：$x{+}^{f}y=y{+}^{f}x$

• 由於舍入，實數的加法是不可結合的
  例如：（單精度下）
  (3.14+1e10)-1e10=0=>3.14由於舍入將丟失
  3.14+(1e10-le10)=3.14

• 由於浮點加法不具有結合性，將在程式編寫底層產生影響
  $a+b+c!=a+(b+c)$

• 另一方面，浮點加法滿足了單調性屬性$a>=b,則x+a>=x+b(x!=NaN)$
  疑惑：無符號或補碼加法不具有單調性屬性？

浮點乘法

浮點乘法：定義$x{\cdot }^{f}y=Round(x\cdot y)$，該計算是可交換的，乘法單位元（這是什麼？）為1.0

• 因為會發生溢位舍入丟失資訊，不具有可結合性
  例如：（單精度）
  $(1e20\ast 1e20)\ast 1e-20=+\infty$（溢位）
  $1e20\ast (le20\ast le-20)=le20$

• 另外，浮點乘法不具有加法分配性
  $le20\ast le20-le20\ast le20=NaN$（溢位）
  $le20\ast (le20-le20)=0.0$

• 當均不為NaN時滿足單調性
  $$a>=b且c>=0=>a{\ast }^{f}c>=b{\ast }^{f}ca>=b且c<=0=>a{\ast }^{f}c<=b{\ast }^{f}c$$
  疑惑：無符號乘法或補碼乘法不具有單調性？
  解答：$x\ast y$可能溢位，兩個正數相乘可能得到負數，加法也是這樣，因此不具有單調性

• 缺乏結合性與分配性是很嚴重的問題

C語言中的浮點數

• C語言提供float與double

• 在支援IEEE的機器上，向偶數舍入

• 因為C語言不要求機器使用IEEE，因此沒有辦法得到-0、NaN等特殊值

• 若出現下面句子時

#define _GUN_SOURCE 1
#include <math.h>

將使用程式常數INFINITY與NAN