IEEE浮點數表示法

月初還在上班的時候，就天天盼望著過年放長假，然而終於熬到了過年，卻發現自己的12天的長假將在碌碌無為中度過，朋友們又一個接一個的遠去，心裡真是拔涼拔涼的啊！最近版上的人氣有點低落，連違規率（不敢說犯罪率哈，怕被人砍）都下降了不少，我想在春節這檔子這是免不了的，論壇上應該有不上工作的朋友可能都回家團聚了。那像我這種無家可歸的人除了眼饞別人的幸福，那就只有向仍然全力支援著我們C++/物件導向這個大家庭的兄弟姐妹們拜個年，祝來年薪水猛漲，職位高升，身體健康，家庭幸福！

最近一段時間看到版上關於C++裡浮點變數精度的討論比較多，那麼我就給對這個問題有疑惑的人詳細的講解一下intel的處理器上是如何處理浮點數的。為了能更方便的講解，我在這裡只以float型為例，從儲存結構和演算法上來講，double和float是一樣的，不一樣的地方僅僅是float是32位的，double是64位的，所以double能儲存更高的精度。還要說的一點是文章和程式一樣，相容性是有一定範圍的，所以你想要完全讀懂本文，你最好對二進位制、十進位制、十六進位制的轉換有比較深入的瞭解，瞭解資料在記憶體中的儲存結構，並且會使用VC.net編譯簡單的控制檯程式。OK，下面我們開始。

大家都知道任何資料在記憶體中都是以二進位制（1或著0）順序儲存的，每一個1或著0被稱為1位，而在x86CPU上一個位元組是8位。比如一個16位（2位元組）的short int型變數的值是1156，那麼它的二進位制表達就是：00000100 10000100。由於Intel CPU的架構是Little Endian（請引數機算機原理相關知識），所以它是按位元組倒序儲存的，那麼就因該是這樣：10000100 00000100，這就是定點數1156在記憶體中的結構。

那麼浮點數是如何儲存的呢？目前已知的所有的C/C++編譯器都是按照IEEE（國際電子電器工程師協會）制定的IEEE 浮點數表示法來進行運算的。這種結構是一種科學表示法，用符號（正或負）、指數和尾數來表示，底數被確定為2，也就是說是把一個浮點數表示為尾數乘以2的指數次方再加上符號。下面來看一下具體的float的規格：

float
共計32位，摺合4位元組
由最高到最低位分別是第31、30、29、……、0位
31位是符號位，1表示該數為負，0反之。
30-23位，一共8位是指數位。
22-0位，一共23位是尾數位。
每8位分為一組，分成4組，分別是A組、B組、C組、D組。
每一組是一個位元組，在記憶體中逆序儲存，即：DCBA

我們先不考慮逆序儲存的問題，因為那樣會把讀者徹底搞暈，所以我先按照順序的來講，最後再把他們翻過來就行了。

現在讓我們按照IEEE浮點數表示法，一步步的將float型浮點數12345.0f轉換為十六進位制程式碼。在處理這種不帶小數的浮點數時，直接將整數部轉化為二進位制表示：1 11100010 01000000也可以這樣表示：11110001001000000.0然後將小數點向左移，一直移到離最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移動了16位，在布耳運算中小數點每向左移一位就等於在以2為底的科學計演算法表示中指數+1，所以原數就等於這樣：1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了，現在我們要的尾數和指數都出來了。顯而易見，最高位永遠是1，因為你不可能把買了16個雞蛋說成是買了0016個雞蛋吧？（呵呵，可別拿你買的臭雞蛋甩我~），所以這個1我們還有必要保留他嗎？（眾：沒有！）好的，我們刪掉他。這樣尾數的二進位制就變成了：11100010010000000最後在尾數的後面補0，一直到補夠23位：11100010010000000000000（MD，這些個0差點沒把我數的背過氣去~）

再回來看指數，一共8位，可以表示範圍是0 - 255的無符號整數，也可以表示-128 - 127的有符號整數。但因為指數是可以為負的，所以為了統一把十進位制的整數化為二進位制時，都先加上127，在這裡，我們的16加上127後就變成了143，二進位制表示為：10001111
12345.0f這個數是正的，所以符號位是0，那麼我們按照前面講的格式把它拼起來：
0 10001111 11100010010000000000000
01000111 11110001 00100000 00000000
再轉化為16進製為：47 F1 20 00，最後把它翻過來，就成了：00 20 F1 47。
現在你自己把54321.0f轉為二進位制表示，自己動手練一下！

有了上面的基礎後，下面我再舉一個帶小數的例子來看一下為什麼會出現精度問題。
按照IEEE浮點數表示法，將float型浮點數123.456f轉換為十六進位制程式碼。對於這種帶小數的就需要把整數部和小數部分開處理。整數部直接化二進位制：100100011。小數部的處理比較麻煩一些，也不太好講，可能反著講效果好一點，比如有一個十進位制純小數0.57826，那麼5是十分位，位階是1/10；7是百分位，位階是1/100；8是千分位，位階是1/1000……，這些位階分母的關係是10^1、10^2、10^3……，現假設每一位的序列是{S1、S2、S3、……、Sn}，在這裡就是5、7、8、2、6，而這個純小數就可以這樣表示：n = S1 * ( 1 / ( 10 ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( 10 ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( 10 ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( 10 ^ n ) )。把這個公式推廣到b進位制純小數中就是這樣：
n = S1 * ( 1 / ( b ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( b ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( b ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( b ^ n ) )

天哪，可惡的數學，我怎麼快成了數學老師了！沒辦法，為了廣大程式設計愛好者的切身利益，喝口水繼續！現在一個二進位制純小數比如0.100101011就應該比較好理解了，這個數的位階序列就因該是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625……。乘以S序列中的1或著0算出每一項再相加就可以得出原數了。現在你的基礎知識因該足夠了，再回過頭來看0.45這個十進位制純小數，化為該如何表示呢？現在你動手算一下，最好不要先看到答案，這樣對你理解有好處。

 

 

 

 

 

 

我想你已經迫不及待的想要看答案了，因為你發現這跟本算不出來！來看一下步驟：1 / 2 ^1位（為了方便，下面僅用2的指數來表示位），0.456小於位階值0.5故為0；2位，0.456大於位階值0.25，該位為1，並將0.45減去0.25得0.206進下一位；3位，0.206大於位階值0.125，該位為1，並將0.206減去0.125得0.081進下一位；4位，0.081大於0.0625，為1，並將0.081減去0.0625得0.0185進下一位；5位0.0185小於0.03125，為0……問題出來了，即使超過尾數的最大長度23位也除不盡！這就是著名的浮點數精度問題了。不過我在這裡不是要給大家講《數值計算》，用各種方法來提高計算精度，因為那太龐雜了，恐怕我講上一年也理不清個頭緒啊。我在這裡就僅把浮點數表示法講清楚便達到目的了。

OK，我們繼續。嗯，剛說哪了？哦對對，那個數還沒轉完呢，反正最後一直求也求不盡，加上前面的整數部算夠24位就行了：1111011.01110100101111001。某BC問：“不是23位嗎？”我：“倒，不是說過了要把第一個1去掉嗎？當然要加一位嘍！”現在開始向左移小數點，大家和我一起移，眾：“1、2、3……”好了，一共移了6位，6加上127得131（怎麼跟教小學生似的？呵呵~），二進位制表示為：10000101，符號位為……再……不說了，越說越囉嗦，大家自己看吧：
0  10000101  11101101110100101111001
42  F6  E9  79
79  E9  F6  42

下面再來講如何將純小數轉化為十六進位制。對於純小數，比如0.0456，我們需要把他規格化，變為1.xxxx * （2 ^ n ）的型式，要求得純小數X對應的n可用下面的公式：
n = int( 1 + log (2)X );

0.0456我們可以表示為1.4592乘以以2為底的-5次方的冪，即1.4592 * ( 2 ^ -5 )。轉化為這樣形式後，再按照上面第二個例子裡的流程處理：
1. 01110101100011100010001
去掉第一個1
01110101100011100010001
-5 + 127 = 122
0  01111010  01110101100011100010001
最後：
11 C7 3A 3D

另外不得不提到的一點是0.0f對應的十六進位制是00 00 00 00，記住就可以了。

最後貼一個可以分析並輸出浮點數結構的函式原始碼，有興趣的自己看看吧：

// 輸入4個位元組的浮點數記憶體資料
void DecodeFloat( BYTE pByte[4] )
{
 printf( "原始（十進位制）：%d  %d  %d  %d/n" , (int)pByte[0],
  (int)pByte[1], (int)pByte[2], (int)pByte[3] );
 printf( "翻轉（十進位制）：%d  %d  %d  %d/n" , (int)pByte[3],
  (int)pByte[2], (int)pByte[1], (int)pByte[0] );
 bitset<32> bitAll( *(ULONG*)pByte );
 string strBinary = bitAll.to_string<char, char_traits<char>, allocator<char> >();
 strBinary.insert( 9, "  " );
 strBinary.insert( 1, "  " );
 cout << "二進位制：" << strBinary.c_str() << endl;
 cout << "符號：" << ( bitAll[31] ? "-" : "+" ) << endl;
 bitset<32> bitTemp;
 bitTemp = bitAll;
 bitTemp <<= 1;
 LONG ulExponent = 0;
 for ( int i = 0; i < 8; i++ )
 {
  ulExponent |= ( bitTemp[ 31 - i ] << ( 7 - i ) );
 }
 ulExponent -= 127;
 cout << "指數（十進位制）：" << ulExponent << endl;
 bitTemp = bitAll;
 bitTemp <<= 9;
 float fMantissa = 1.0f;
 for ( int i = 0; i < 23; i++ )
 {
  bool b = bitTemp[ 31 - i ];
  fMantissa += ( (float)bitTemp[ 31 - i ] / (float)( 2 << i ) );
 }
 cout << "尾數（十進位制）："  << fMantissa << endl;
 float fPow;
 if ( ulExponent >= 0 )
 {
  fPow = (float)( 2 << ( ulExponent - 1 ) );
 }
 else
 {
  fPow = 1.0f / (float)( 2 << ( -1 - ulExponent ) );
 }
 cout << "運算結果：" << fMantissa * fPow << endl;
}

累死了，我才發現這篇文章雖然短，然而確是最難寫的。上帝，我也不是機算機，然而為什麼我滿眼都只有1和0？看來我也快成了黑客帝國裡的那個看通迅員了……希望大家能不辜負我的一翻辛苦，幫忙up吧！

                Creamdog 於
            春節前夕 2004年1月18 下午5點完工