浮點數的運算步驟
浮點數的加減運算一般由以下五個步驟完成：對階、尾數運算、規格化、舍入處理、溢位判斷
所謂對階是指將兩個進行運算的浮點數的階碼對齊的操作。對階的目的是為使兩個浮點數的尾數能夠進行加減運算。因為，當進行 $ M_{x} \times 2^{E_{x}}$與 $ M_{y} \times 2^ {E_{y}} $ 加減運算時，只有使兩浮點數的指數值部分相同，才能將相同的指數值作為公因數提出來，然後進行尾數的加減運算。對階的具體方法是：首先求出兩浮點數階碼的差，即 \(\Delta E = E_{x} - E_{y}\) ，將小階碼加上⊿E，使之與大階碼相等，同時將小階碼對應的浮點數的尾數右移相應位數，以保證該浮點數的值不變。幾點注意：
-
對階的原則是小階對大階，之所以這樣做是因為若大階對小階，則尾數的數值部分的高位需移出，而小階對大階移出的是尾數的數值部分的低位，這樣損失的精度更小。
-
若⊿E＝0，說明兩浮點數的階碼已經相同，無需再做對階操作了。
-
採用補碼錶示的尾數右移時，符號位保持不變。
-
由於尾數右移時是將最低位移出，會損失一定的精度，為減少誤差，可先保留若干移出的位，供以後舍入處理用。
尾數運算
尾數運算就是進行完成對階後的尾數相加減。這裡採用的就是我們前面講過的純小數的定點數加減運算。
結果規格化
在機器中，為保證浮點數表示的唯一性，浮點數在機器中都是以規格化形式儲存的。對於IEEE754標準的浮點數來說，就是尾數必須是1.M的形式。由於在進行上述兩個定點小數的尾數相加減運算後，尾數有可能是非規格化形式，為此必須進行規格化操作。
規格化操作包括左規和右規兩種情況。
左規操作：將尾數左移，同時階碼減值，直至尾數成為1.M的形式。例如，浮點數0.0011·25是非規格化的形式，需進行左規操作，將其尾數左移3位，同時階碼減3，就變成1.1100·22規格化形式了。
右規操作：將尾數右移1位，同時階碼增1，便成為規格化的形式了。要注意的是，右規操作只需將尾數右移一位即可，這種情況出現在尾數的最高位（小數點前一位）運算時出現了進位，使尾數成為10.xxxx或11.xxxx的形式。例如，10.0011·25右規一位後便成為1.00011·26的規格化形式了。
舍入處理
浮點運算在對階或右規時，尾數需要右移，被右移出去的位會被丟掉，從而造成運算結果精度的損失。為了減少這種精度損失，可以將一定位數的移出位先保留起來，稱為保護位，在規格化後用於舍入處理。
IEEE754標準列出了四種可選的舍入處理方法：
-
就近舍入（round to nearest）這是標準列出的預設舍入方式，其含義相當於我們日常所說的“四捨五入”。例如，對於32位單精度浮點數來說，若超出可儲存的23位的多餘位大於等於100…01，則多餘位的值超過了最低可表示位值的一半，這種情況下，舍入的方法是在尾數的最低有效位上加1；若多餘位小於等於011…11，則直接捨去；若多餘位為100…00，此時再判斷尾數的最低有效位的值，若為0則直接捨去，若為1則再加1。
-
朝+∞舍入（round toward +∞）對正數來說，只要多餘位不為全0，則向尾數最低有效位進1；對負數來說，則是簡單地捨去。
-
朝-∞舍入（round toward -∞）與朝+∞舍入方法正好相反，對正數來說，只是簡單地捨去；對負數來說，只要多餘位不為全0，則向尾數最低有效位進1。
-
朝0舍入（round toward 0）即簡單地截斷捨去，而不管多餘位是什麼值。這種方法實現簡單，但容易形成累積誤差，且舍入處理後的值總是向下偏差。
溢位判斷
與定點數運算不同的是，浮點數的溢位是以其運算結果的階碼的值是否產生溢位來判斷的。若階碼的值超過了階碼所能表示的最大正數，則為上溢，進一步，若此時浮點數為正數，則為正上溢，記為+∞，若浮點數為負數，則為負上溢，記為-∞；若階碼的值超過了階碼所能表示的最小負數，則為下溢，進一步，若此時浮點數為正數，則為正下溢，若浮點數為負數，則為負下溢。正下溢和負下溢都作為0處理。
要注意的是，浮點數的表示範圍和補碼錶示的定點數的表示範圍是有所不同的，定點數的表示範圍是連續的，而浮點數的表示範圍可能是不連續的。
例子
float a=0.3;b=1.6;
\(a=(0.3)_{10}=(0011 1110 1001 1001 1001 1001 1001 1010)_{2}, S_{a}=0, E_{a}=011 1110 1, M_{a}=1.001 1001 1001 1001 1001 1010\)
\(b=(1.6)_{10}=(0011 1111 1100 1100 1100 1100 1100 1101)_{2}, S_{b}=0 , E_{b}=011 1111 1, M_{b}=1.100 1100 1100 1100 1100 1101\)
a+b=?
第一步：對階
∵ Ea<Eb Eb-Ea=2
∴ Ma要調整為 0.0 1001 1001 1001 1001 1001 10 10
E=011 1111 1
第二步：尾數運算
0.01001100110011001100110
+ 1.10011001100110011001101
1.11100110011001100110011
注意，這一步需要讓隱含位參與運算。
第三步：規格化
1.11100110011001100110011已經是個規格化資料了
第四步：舍入處理
由於在對階時，Ma有右移，且第一次最高為1，第二次為0，所以按"0舍1入"，尾數運算結果調整為 1.11100110011001100110100
第五步：溢位判斷
沒有溢位，階碼不調整，所以最後的結果為
a+b=(0 01111111 11100110011001100110100)2=(0011 1111 1111 0011 0011 0011 0011 0100)2=(3FF33334)16
轉為10進位制
a+b=1.90000010
b-a=?
第一步：對階
跟上面加法一樣
第二步：尾數運算
1.10011001100110011001101
- 0.01001100110011001100110
1.01001100110011001100111
這裡要讓隱含位參與運算，按照原碼的減法運算規則進行運算即可
第三步：規格化
1.01001100110011001100111已經是個規格化資料了
第四步：舍入處理
由於在對階時，Ma有右移，且第一次最高為1，第二次為0，所以按"0舍1入"，尾數運算結果調整為 1.01001100110011001100110
第五步：溢位判斷
沒有溢位，階碼不調整，所以最後的結果為
a-b=(0 01111111 01001100110011001100110)2=(0011 1111 1010 0110 0110 0110 0110 0110)2=(3FA66666)16
轉為10進位制
a-b=1.29999995
浮點運算加法器邏輯電路
參考文獻
浮點數的運算步驟