圖之強連通、強連通圖、強連通分量 Tarjan演算法

一、解釋

在有向圖G中，如果兩個頂點間至少存在一條互相可達路徑，稱兩個頂點強連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。非強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components)。
求解有向圖的強連通分量演算法有很多，例如Kosaraju，Gabow和Tarjan演算法，其中Gabow和Tarjan演算法時間複雜度要優於Kosaraju。
理解：
如果單純將其看出圖的話有點難以理解，但是當我們將其看成樹，就很容易了。

如上圖，如果兩個點成強聯通，那麼顯然在樹中就會存在一個環，圖中L-M-J-L和A-L-M-B-A成環所以組成的強聯通分量。

二、Tarjan演算法

Tarjan演算法基於深度優先搜尋樹，其有兩個重要變數DFN[u]：表示在深度搜尋中遍歷到該節點的次序。LOW(u)表示以u節點為樹根，u及u以下樹節點所能找到的最小次序號。注意Tarjan認為單個節點自身就是一個強聯通分量，在處理資料時注意遮蔽。以上圖為例，我們從A開始，
A：DFN[1] = 1； LOW(1)=1
L：DFN[2] = 2； LOW(2)=2
M：DFN[3] = 3； LOW(3)=3
J：DFN[4] = 4； LOW(4)=4
這時我們在J節點繼續往下搜尋時，發現L節點我們已經搜尋過了，且L：LOW(2)=2，我們發現J：LOW(4)=4>L：LOW(2)=2,因此我們將其賦值LOW(4)=2，這說明此時我們發現了一個環，代表一個強聯通分量。
下面繼續：
J：DFN[4] = 4； LOW(4)=2
M：DFN[3] = 3； LOW(3)=2
B：DFN[5] = 4； LOW(5)=5
發現B到A：
B：DFN[5] = 4； LOW(5)=1
開始返回更新：
M：DFN[3] = 3； LOW(3)=1
L：DFN[2] = 2； LOW(2)=1
A：DFN[1] = 1； LOW(1)=1
發現DFN=LOW(1)，彈出棧。
演算法：

void tarjan(int u){

    DFN[u]=LOW[u]=++time; //次序從1開始，初始時由於預設將DFN[u]=LOW[u]都置為次序號
    // 將當前節點壓棧，置位在棧中，已訪問。
    visit[u]=1;
    s.push(u);
    instack[u]=1;


    //取u節點的下一路徑節點v,當沒有v可取時也說明深度搜尋已經到達當前最底部，這是我們函式返回尋找另一條路徑。
    for(int j=0;j<G[u].size();j++){
        int v=G[u][j];
        if(visit[v]==0){
            tarjan(v);
            // 在深度搜尋返回時，如果v節點下存在子樹，要將u節點的LOW[u]更新。
            LOW[u]=min(LOW[u],LOW[v]);
        }
        else if(instack[v]){
            // v節點已經被訪問，並且在棧中，說明在當前路徑上存在環，此處只是賦值，但並不代表在u子樹的底下的多個節點沒有比當前環更大的環。無法作為深度終止條件。
            LOW[u]=min(LOW[u],DFN[v]);
        }
    }

    int m;
    int num=0; //對一個環計數計數
    // 在深度搜尋完結後返回時，判斷DFN[u]==LOW[u]，相等說明找到了一個環，將棧中節點彈出。注意tarjan演算法認為單個節點也為環。
    if(DFN[u]==LOW[u]){
        // 將棧中節點彈出，並計數
        do{
            m=s.top();
            s.pop();
            instack[m]=0;
            num++;
        }while(m!=u);

        // 只有環內節點數大於兩個才是真正環。
        if(num>1){
            // n個點兩兩相交（互相到達），則有n*(n-1)/2條連線線
            total+=num*(num-1)/2;
        }
    }

}

關於為啥只用訪問一次：
開始疑惑，肯定會多條路徑通過某一點，如果用visit記錄訪問記錄的話，下一條路徑不就會不能訪問該點了嗎？遂繪製醜圖：

如圖當我們訪問到6節點時發現有環，且到達底點，這時根據演算法開始返回，同時將2-6-5這條環也遍歷掉（此時5號已訪問壓棧且有LOW=1）。也就是說在返回到1號節點開始出棧時，我們已經把1號節點的子樹全部訪問了一遍，該成環的也做了標記。在1號節點下的子節點不會通向1號節點以上的節點，比如0號節點，不然1號只能算一個類似於2-6-5這條環。至於從0號到5號就不用再判斷了。所以遍歷一遍就行。我覺得巧妙之處在於在深度向前搜尋過程並沒有處理資料，而在深度返回過程中開始更新資料，記錄找到的迴路，並且到達子樹根節點DFN[u]==LOW[u]才開始出棧。
演算法例項：
CCF 高速公路