圖論——強連通分量（Tarjan演算法)

強連通分量

什麼是強連通圖？
如果一個有向圖中，存在一條迴路，所有的結點至少被經過一次，這樣的圖為強連通圖。

什麼是強連通分量？
在強連圖圖的基礎上加入一些點和路徑，使得當前的圖不在強連通，稱原來的強連通的部分為強連通分量。

求強連通分量有何作用？
在進行對其它圖論問題的求解前，利用強連通分量的知識可以把圖中強連通的點縮為一個點，減少接下來其它圖論操作的計算。
在某些特定的環境下，求強連通分量變相地得出圖中的環以及環的長度。

利用Tarjan演算法求強連通分量

Tarjan演算法的基本思路
首先考慮強連通分量的性質，即存在一條迴路能從初始點又回到初始點。在這個查詢的過程中，可以對經過的結點標記，當發現某一節點連向的點正好以及被標記過，則說明找到了一條迴路，而這個迴路上的所有點構成一個強連通分量。為了儲存這個強連通分量，我們需要知道這條路上有哪些點，而此時，棧就是一種適合該演算法的資料結構。對於每次搜尋的點，我們都加入棧中，遇到迴路時，在把棧中的元素逐個彈出，記錄它們的起始結點，直到棧中彈出的元素正好是起始結點時，結束彈棧，繼續搜尋其它強連通分量。在這個過程中，所有的點和都有的邊都被遍歷了一次，所以最終的時間複雜度為$O(N+E)$



Tarjan演算法的實現
為了實現這個過程，Tarjan演算法需要裝備如下幾樣東西：
記錄搜尋順序的陣列$dfn$；
記錄所屬強連通的陣列$low$；
表示某結點是否在棧中的陣列$instack$；
一個棧儲存搜尋路徑；
從上面對Tarjan演算法的描述中，很容易看出這個演算法是基於深度優先搜尋實現的。接下來，對Tarjan演算法進行逐步推演。
（本人不喜歡使用網上用爛的素材，接下來包括以前的講解圖都是自己手畫的，不喜勿噴）

Tarjan演算法虛擬碼

tarjan(u)
{
    dfn[u]=low[u]=++Index                      
    stack.push(u)                              
    for each (u, v) in E                       
        if (v is not visted)              
            tarjan(v)                  
            low[u] = min(low[u], low[v])
        else if (v in S)                   
            low[u] = min(low[u], dfn[v])
    if (dfn[u] == low[u])                     
        repeat
            v = stack.pop                
            print v
        until (u== v)
}

Tarjan演算法C++程式碼模板

#include<iostream>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;

int n,m,cnt,cntb;
vector<int> edge[101];
vector<int> belong[101];
bool instack[101];
int dfn[101];
int low[101];
stack<int> s;

void Tarjan(int u)
{
	++cnt;
	dfn[u]=low[u]=cnt;
	s.push(u);
	instack[u]=true; 
	for(int i=0;i<edge[u].size();++i)
	{
		int v=edge[u][i];
		if(!dfn[v])
		{
			Tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(instack[v])
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u])
	{
		++cntb;
		int node;
		do
		{
			node=s.top();
			s.pop();
			instack[node]=false;
			belong[cntb].push_back(node);
		}while(node!=u);
	}
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		edge[u].push_back(v);
	}
	
	Tarjan(1);
	
	cout<<"id  :";
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cout<<i<<" ";
	cout<<endl;
	
	cout<<"dfn :";
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cout<<dfn[i]<<" ";
	cout<<endl;
	
	cout<<"low :";
	for(int i=1;i<+n;++i)
		cout<<low[i]<<" ";
	cout<<endl;
	
	for(int i=1;i<=cntb;++i) 
	{
		cout<<"SCG "<<i<<" : ";
		for(int j=0;j<belong[i].size();++j)
			cout<<belong[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	
	return 0;
} 

按照先前的推演圖，生成測試樣例

7 11
1 2
2 3
2 5
2 4
3 5
3 7
7 5
5 6
6 7
4 1
4 5

執行結果與推演時一致

來一道例題練手（USACO08DEC）

——題目描述——
每年，在威斯康星州，奶牛們都會穿上衣服，收集農夫約翰在N(1<=N<=100，000)個牛棚隔間中留下的糖果，以此來慶祝美國秋天的萬聖節。

由於牛棚不太大，FJ通過指定奶牛必須遵循的穿越路線來確保奶牛的樂趣。為了實現這個讓奶牛在牛棚裡來回穿梭的方案，FJ在第i號隔間上張貼了一個“下一個隔間”Next_i(1<=Next_i<=N)，告訴奶牛要去的下一個隔間；這樣，為了收集它們的糖果，奶牛就會在牛棚裡來回穿梭了。

FJ命令奶牛i應該從i號隔間開始收集糖果。如果一隻奶牛回到某一個她已經去過的隔間，她就會停止收集糖果。

在被迫停止收集糖果之前，計算一下每頭奶牛要前往的隔間數（包含起點）。

——輸入格式——
第1行 整數n。

第2行到n+1行 每行包含一個整數 next_i 。

——輸出格式——
n行，第i行包含一個整數，表示第i只奶牛要前往的隔間數。

——輸入樣例——
4
1
3
2
3

——輸出樣例——
1
2
2
3

——題解——
本題的資料量還是蠻大的，有$1e5$個結點，我們當然不可能對每一個結點進行深度優先搜尋。幸運的是，每一個點都只有一條出邊，也即意味著，本題中至少有一個環(包括自環)，而且，環上的點永遠無法走出這個環，環上點的答案就是這個環的長度。而對於不在環上的點，用dfs直到找到一個環，其答案也即環的長度加上搜尋到環的步數。環長度的計算，可以利用tarjan演算法的思路，用dfn減去low。因地制宜，我寫了一個簡易版的tarjan.

——Code——

#include<iostream>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;

int edge[100005];
int dfn[100005];
bool vis[100005];
int ans[100005];
stack<int> sta;
int n;
int cnt_dfn;
void dfs(int u)
{
	++cnt_dfn;
	dfn[u]=cnt_dfn;
	vis[u]=true;
	sta.push(u);
	if(vis[edge[u]])
	{
		if(!ans[edge[u]])
		{
			int val=dfn[u]-dfn[edge[u]]+1;
			int v;
			do
			{
				v=sta.top();
				ans[v]=val;
				sta.pop();
			}while(v!=edge[u]);
			while(!sta.empty())
			{
				++val;
				ans[sta.top()]=val;
				sta.pop();
			}
		}
		else
		{
			int val=ans[edge[u]];
			while(!sta.empty())
			{
				++val;
				ans[sta.top()]=val;
				sta.pop();
			}
		}
	}
	else dfs(edge[u]);
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		cin>>edge[i];
		if(edge[i]==i)
		{
			ans[i]=1;
			vis[i]=true;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(!vis[i])
		{
			cnt_dfn=0; 
			dfs(i);
		}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cout<<ans[i]<<endl;
	return 0;
}