Day8 雙連通分量

~hsm~發表於2019-02-17

文章目錄

A. BZOJ 1718: [Usaco2006 Jan] Redundant Paths 分離的路徑

B. 逃不掉的路

C.HDU 3394 railway 點雙聯通+橋

D.BZOJ 2730: [HNOI2012]礦場搭建

A. BZOJ 1718: [Usaco2006 Jan] Redundant Paths 分離的路徑

題目

BZOJ 1718
POJ 3177
LUOGU 2860

題解

思路：在同一個邊雙連通分量中，任意兩點都有至少兩條獨立路可達，所以同一個邊雙連通分量裡的所有點可以看做同一個點。
縮點後，新圖是一棵樹，樹的邊就是原無向圖的橋。
現在問題轉化為：在樹中至少新增多少條邊能使圖變為雙連通圖。
結論：
新增邊數=（樹中度為1的節點數+1）/2 具體方法為，首先把兩個最近公共祖先最遠的兩個葉節點之間連線一條邊，這樣可以把這兩個點到祖先的路徑上所有點收縮到一起，因為一個形成的環一定是雙連通的。
然後再找兩個最近公共祖先最遠的兩個葉節點，這樣一對一對找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有點收縮到了一起。
點評：
邊雙連通分量縮點後，原圖變成一顆真正的樹，而樹上各種操作可以和其他知識點結合起來。
這種敏感性要有，比如縮點之後就可以快速求必經邊，必經點之類的。
~~比較懶，就把老師ppt上的題解粘過來了。~~

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=3e5+10;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1,ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}
int ver[maxn<<1],Next[maxn<<1],head[maxn],len=1;
inline void add(int x,int y)
{
    ver[++len]=y,Next[len]=head[x],head[x]=len;
}
int dfn[maxn],low[maxn],id;
bool bridge[maxn<<1];
inline void tarjan(int x,int inedge)
{
    dfn[x]=low[x]=++id;
    for (int i=head[x];i;i=Next[i])
    {
        int y=ver[i];
        if (!dfn[y])
        {
            tarjan(y,i);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
            if (low[y]>dfn[x])
                bridge[i]=bridge[i^1]=1;
        }
        else if (i!=(inedge^1))
            low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
}
int c[maxn],Out[maxn],dcc;
inline void dfs(int x)
{
    c[x]=dcc;
    for (int i=head[x];i;i=Next[i])
    {
        int y=ver[i];
        if (c[y] || bridge[i]) continue;
        dfs(y);
    }
}
int main()
{
	freopen("rpaths.in","r",stdin);
	freopen("rpaths.out","w",stdout);
    int n,m;read(n);read(m);
    for (int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x,y;
        read(x);read(y);
        add(x,y);add(y,x);
    }
    for (int i=1;i<=n;++i)
        if (!dfn[i]) tarjan(i,-1);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        if (!c[i]) ++dcc,dfs(i);
    for (int i=2;i<=len;i+=2)
    {
        int x=ver[i^1],y=ver[i];
        if (c[x]!=c[y])
            ++Out[c[x]],++Out[c[y]];
    }
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=dcc;++i)
        if (Out[i]==1) ++ans;
    printf("%d\n",(ans+1)>>1);
    return 0;
}

B. 逃不掉的路

題目

CH #24C

題目描述
現代社會，路是必不可少的。任意兩個城鎮都有路相連，而且往往不止一條。但有些路連年被各種XXOO，走著很不爽。按理說條條大路通羅馬，大不了繞行其他路唄——可小擼卻發現：從a城到b城不管怎麼走，總有一些逃不掉的必經之路。
他想請你計算一下，a到b的所有路徑中，有幾條路是逃不掉的？
輸入格式
第一行是n和m，用空格隔開。
接下來m行，每行兩個整數x和y，用空格隔開，表示x城和y城之間有一條長為1的雙向路。
第m+2行是q。接下來q行，每行兩個整數a和b，用空格隔開，表示一次詢問。
輸出格式
對於每次詢問，輸出一個正整數，表示a城到b城必須經過幾條路。
樣例輸入
5 5
1 2
1 3
2 4
3 4
4 5
2
1 4
2 5
樣例輸出
0
1
樣例解釋
第1次詢問，1到4的路徑有 1–2--4 ，還有 1–3--4 。沒有逃不掉的道路，所以答案是0。
第2次詢問，2到5的路徑有 2–4--5 ，還有 2–1--3–4--5 。必須走“4–5”這條路，所以答案是1。
資料約定與範圍
共10組資料，每組10分。
有3組資料，n ≤ 100 , n ≤ m ≤ 200 , q ≤ 100。
另有2組資料，n ≤ 10³, n ≤ m ≤ 2 x 10³ , 100 < q ≤ 10⁵。
另有3組資料，10³ < n ≤ 10⁵ , m = n-1 , 100 < q ≤ 10⁵。
另有2組資料，10³ < n ≤ 10⁵ , n ≤ m ≤ 2 x 10⁵ , 100 < q ≤ 10⁵。
對於全部的資料，1 ≤ x,y,a,b ≤ n；對於任意的道路，兩端的城市編號之差不超過10⁴；
任意兩個城鎮都有路徑相連；同一條道路不會出現兩次；道路的起終點不會相同;查詢的兩個城市不會相同。

題解

經過分析後，就可以得出方法：
既然是求必須經過的邊，那麼邊雙包含的集合肯定不是必須經過的，這樣我們可以先劃分出邊雙連通分量，進行縮點，這樣就構建了一棵樹，而樹上任意兩點間逃不掉的路的條數（邊權為1）就是他們的距離，求樹上兩點間的距離即可。
所以，綜上所述，這是一道邊雙+LCA的模板題。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1,ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
int ver[maxn<<1],Next[maxn<<1],head[maxn],len=1;
inline void add(int x,int y)
{
	ver[++len]=y,Next[len]=head[x],head[x]=len;
}
int dfn[maxn],low[maxn],id;
bool bridge[maxn<<1];
inline void tarjan(int x,int inedge)
{
	dfn[x]=low[x]=++id;
	for (int i=head[x];i;i=Next[i])
	{
		int y=ver[i];
		if (!dfn[y])
		{
			tarjan(y,i);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if (low[y]>dfn[x])
				bridge[i]=bridge[i^1]=1;
		}
		else if (i!=(inedge^1))
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}
int c[maxn],dcc;
inline void dfs(int x)
{
	c[x]=dcc;
	for (int i=head[x];i;i=Next[i])
	{
		int y=ver[i];
		if (c[y] || bridge[i]) continue;
		dfs(y);
	}
}
int vc[maxn<<1],Nc[maxn<<1],hc[maxn],lc;
inline void addc(int x,int y)
{
	vc[++lc]=y,Nc[lc]=hc[x],hc[x]=lc;
}
int d[maxn],f[maxn][21],t;
queue<int>q;
inline void bfs(int s)
{
	q.push(s);
	d[s]=1;
	while (!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		for (int i=hc[x];i;i=Nc[i])
		{
			int y=vc[i];//錯誤原因2：vc打成ver
			if (d[y]) continue;
			d[y]=d[x]+1;
			f[y][0]=x;
			for (int j=1;j<=20;++j)//錯誤原因3：++j打成++i
				f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
			q.push(y);
		}
	}
}
inline int lca(int x,int y)
{
	if (d[x]>d[y]) swap(x,y);
	for (int i=20;i>=0;--i)
		if (d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];//錯誤原因1：未寫‘=’號
	if (x==y) return x;
	for (int i=20;i>=0;--i)
		if (f[x][i]!=f[y][i])
			x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}
int main()
{
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	int n,m;
	read(n);read(m);
	for (int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x,y;
		read(x);read(y);
		add(x,y);add(y,x);
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (!dfn[i]) tarjan(i,-1);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (!c[i]) ++dcc,dfs(i);
	lc=1;
	for (int i=2;i<=len;++i)
	{
		int x=ver[i^1],y=ver[i];
		if (c[x]==c[y]) continue;
		addc(c[x],c[y]),addc(c[y],c[x]);
	}
	bfs(1);
	int q;read(q);
	for (int i=1;i<=q;++i)
	{
		int x,y;
		read(x);read(y);
		printf("%d\n",d[c[x]]+d[c[y]]-(d[lca(c[x],c[y])]<<1));
	}
	return 0;
}

C.HDU 3394 railway 點雙聯通+橋

題目_p1691

HDU 3394

描述 Description
有一個公園有n個景點，這n個景點由m條無向道路連線而成。公園的管理員準備規劃一一些形成迴路的參觀路線。如果一條道路被多條參觀路線公用，那麼這條路是衝突的；如果一條道路沒在任何一個迴路內，那麼這條路是多餘的道路。
問分別有多少條有衝突的路和多餘的路
輸入格式 Input Format
包括多組資料
每組資料第一行2個整數n，m
接下來m行，每行2個整數x，y，表示從x到y有一條無向邊。
輸入資料以n=0,m=0結尾
輸出格式 Output Format
一行2個整數，表示你要求的多餘的道路和衝突的道路的數量。
樣例輸入 Sample Input
8 10
0 1
1 2
2 3
3 0
3 4
4 5
5 6
6 7
7 4
5 7
0 0
樣例輸出 Sample Output
1 5
時間限制 Time Limitation
1s
註釋 Hint
【資料範圍】
n<=10000
m<=100000
0<=x,y<n
每個測試點有10組資料。
來源 Source
hdoj 3394
題面+資料來自2018級宋逸群

題解

查了半天，是道橋與點雙的板子題（然而我打了邊雙。。。。。。。。）。。。。。。。
一.解釋一下點雙：點雙連通分量：對於一個連通圖，如果任意兩點至少存在兩條“點不重複”的路徑，則說這個圖是點雙連通的，簡單來說就是任意兩條邊都在同一個簡單環中，即內部無割頂。

二.先嚐試解釋一下要求輸出的兩個東西究竟是什麼：
1.多餘邊：不在任何環中，一定是橋。
2.衝突邊：如果一個環內的邊數大於點數，那麼這個環內所有邊都是“衝突邊”。其實就是點雙了。

三.怎麼判斷一個雙連通分量中環的個數呢？根據點數跟邊數的關係。
1.當點數=邊數，形成一個環。
2.當點數>邊數（一條線段，說明這條邊是橋）。
3.當點數<邊數，那麼就含1個以上的環了。

四.HDU的資料挺水的。

程式碼

簡陋註釋，可能有錯，歡迎大家指出！！！！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=1e4+10;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1,ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
int bridge,vDCC;

int ver[maxn<<1],Next[maxn<<1],head[maxm],len;
inline void add(int x,int y)
{
	ver[++len]=y,Next[len]=head[x],head[x]=len;
}

int belong[maxm],cnt=0;
bool instack[maxm];
void GetvDCC()
{
	int num=0;
	for (int j=1;j<=cnt;++j)
	{
		int x=belong[j];
		for (int i=head[x];i;i=Next[i])//鄰接表的dfs
		{
			int y=ver[i];
			if (instack[y]) ++num;//如果說他被訪問過，那他肯定不在棧裡，也就說是點雙了
		}
	}
	num>>=1;//無向圖，所以點會過兩次
	if (num>cnt) vDCC+=num;//如果一個環內的邊數大於點數，那麼這個環內所有邊都是“衝突邊”
}
int Stack[maxm],top;
int dfn[maxm],low[maxm],low1[maxm],id=0;
void tarjan(int x,int inedge)//點雙連通縮點方法：清空路徑，列舉ver,Next陣列中儲存的路徑，建立雙向邊
{
	low[x]=low1[x]=dfn[x]=++id;
	Stack[++top]=x;
	for (int i=head[x];i;i=Next[i])
	{
		int y=ver[i];
		if (!dfn[y])//y結點還未訪問過
		{
			tarjan(y,i);//訪問y結點
			low[x]=min(low[x],low[y]);//更新low
			low1[x]=min(low1[x],low1[y]);//錯誤原因，割邊與割點的判定是不一樣的
			if (low1[y]>dfn[x]) ++bridge;//正如上面所說：當點數>邊數（一條線段，說明這條邊是橋）
			if (low[y]>=dfn[x])
			{
				int k;
				cnt=0;
				memset(instack,0,sizeof(instack));//注意在進行標記前要把它清空
				do
				{
					k=Stack[top--];//取出棧頂
					belong[++cnt]=k;
					instack[k]=1;
				} while (k!=y);
				belong[++cnt]=x;
				instack[x]=1;
				GetvDCC();
			}
		}
		else
		{
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);//與有向圖區分，此處else不需要判別y節點是否在棧內
			if (i!=(inedge^1)) low1[x]=min(low1[x],dfn[y]);
		}
	}
}
int main()
{
	freopen("way.in","r",stdin);
	freopen("way.out","w",stdout);
	while (1)
	{
		int n,m;read(n);read(m);
		if (!n && !m) break;
		memset(head,0,sizeof(head));
		len=1;
		while (m--)
		{
			int x,y;read(x);read(y);
			++x,++y;//結點是從零開始的
			if (x==y) continue;
			add(x,y),add(y,x);//無向圖
		}

		memset(dfn,0,sizeof(dfn));
		bridge = vDCC = id = top = 0;
		for (int i=1;i<=n;++i)
			if (!dfn[i]) tarjan(i,-1);
		printf("%d %d\n",bridge,vDCC);
	}
	return 0;
}

D.BZOJ 2730: [HNOI2012]礦場搭建

題目

BZOJ 2730
LUOGU 3225

題解

首先我們知道，對於這張圖，我們可以列舉坍塌的是哪個點，對於每個坍塌的點，最多可以將圖分成若干個不連通的塊，這樣每個塊我們可能需要一個出口才能滿足題目的要求，列舉每個坍塌的點顯然是沒有意義的，我們只需要每個圖的若干個割點，這樣除去割點的圖有若干個塊，我們可以求出只與一個割點相連的塊，這些塊必須要一個出口才能滿足題目的要求，每個塊內有塊內個數種選法，然後將所有滿足一個割點相連的塊的點數連乘就行了。

對於每個與一個割點相連的塊必須建出口可以換一種方式理解，我們將每個塊看做一個點，那麼算上割點之後，這張圖就變成了一顆樹，只有葉子節點我們需要建立出口，因為對於非葉子節點我們不論斷掉哪個點我們都有另一種方式相連，這裡的葉子節點就是與一個割點相連的塊。
最後還有個特判，就是對於一個雙連通圖，我們至少需要選取兩個點作為出口，因為如果就選一個，可能該點為坍塌點，這時我們就任選兩個點就行了，方案數為點數x(點數-1)>>1。

程式碼該如何寫？
先tarjan求一下所有的點雙。
然後對於每一個點雙，分類討論：
1、只有一個割點，必須選一個非割點。
2、有>=2個割點，不用選
3、有0個割點，必須選倆。

~~比較懶，就把老師ppt上的題解粘過來了。~~

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=510;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1,ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}
long long vDCC,ans=1;//錯誤原因：未開long long

int ver[maxn<<1],Next[maxn<<1],head[maxn],len;
inline void add(int x,int y)
{
    ver[++len]=y,Next[len]=head[x],head[x]=len;
}
int dfn[maxn],low[maxn],id,root;
bool cut[maxn];
inline void tarjan(int x,int fa)
{
    dfn[x]=low[x]=++id;
    int tot=0;
    for (int i=head[x];i;i=Next[i])
    {
        int y=ver[i];
        if (!dfn[y])
        {
            tarjan(y,x);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
            if (low[y]>=dfn[x])
            {
                ++tot;
                if (x^root || tot>1) cut[x]=1;
            }
        }
        else if (y!=fa)
            low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
}
int c[maxn],dcc,num,cnt;
inline void dfs(int x)
{
    c[x]=dcc;
    ++cnt;
    for (int i=head[x];i;i=Next[i])
    {
        int y=ver[i];
        if (c[y]!=dcc && cut[y]) ++num,c[y]=dcc;
        if (!c[y])
        	dfs(y);
    }
}
int main()
{
	freopen("input.in","r",stdin);
	freopen("output.out","w",stdout);
    for (int Case=1;;++Case)
    {
        int n=0,m;
        read(m);
        if (!m) exit(0);
        memset(dfn,0,sizeof(dfn));
        memset(c,0,sizeof(c));
        memset(cut,0,sizeof(cut));
        memset(head,0,sizeof(head));
        vDCC=dcc=id=len=0;
        ans=1;
        for (int i=1;i<=m;++i)
        {
            int x,y;read(x);read(y);
            n=max(n,max(x,y));
            add(x,y);add(y,x);
        }
        for (int i=1;i<=n;++i)
            if (!dfn[i]) root=i,tarjan(i,0);
        for (int i=1;i<=n;++i)
            if (!c[i] && !cut[i])
            {
                ++dcc,cnt=num=0;
                dfs(i);
                if (!num) vDCC+=2,ans*=cnt*(cnt-1)/2;
                if (num==1) ++vDCC,ans*=cnt;
            }
        printf("Case %d: %lld %lld\n",Case,vDCC,ans);
    }
    return 0;
}

無向連通圖點雙連通分量
2018-09-04
無向連通圖邊雙連通分量
2018-09-04
POJ 3694 Network 邊雙連通分量+LCA
2019-03-09
【筆記/模板】無向圖的雙連通分量
2024-11-04
筆記
「學習筆記」雙連通分量、割點與橋
2023-05-07
筆記
強連通分量
2024-07-07
Tarjan求強連通分量
2019-04-22
【模板】tarjan 強連通分量縮點
2024-04-30
強連通分量(Tarjan演算法)
2019-02-22
演算法
POJ 1236 Network of Schools 強連通分量
2019-03-09
有向圖的強連通分量模版
2018-10-08
Tarjan演算法(強連通分量分解)
2018-08-13
演算法
Tarjan 求有向圖的強連通分量
2024-06-20
圖論——強連通分量（Tarjan演算法)
2019-03-10
圖論演算法
day8
2024-09-16
Day8 JSON
2024-06-04
JSON
kosaraju 和 tarjan演算法詳解(強連通分量）
2019-09-18
演算法
UVA-11504 - Dominos(有向圖的強連通分量)
2020-04-04
Day7 割點、割邊和強連通分量
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【演算法學習】tarjan 強連通、點雙、邊雙及其縮點重磅來襲！！！！
2024-11-02
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016 通過連結串列學習Rust之安全的雙連結串列佈局
2021-06-20
Rust
強連通分量及縮點演算法解析及例題
2019-02-15
演算法
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