【筆記/模板】無向圖的雙連通分量

ThySecret發表於2024-11-04
筆記

邊雙連通分量

定義

在一張聯通的無向圖中，對於任意兩點 \(u\) 和 \(v\)​，刪去兩點之間任意一條邊，都無法使其不連通（即連通數不變），我們就說這兩點是邊雙連通。

對於一個無向圖中的 極大 邊雙連通的子圖，我們稱這個子圖為一個 邊雙連通分量。

根據 【筆記 / 模板】割點和橋 中可知，如果一張圖是一個邊雙連通分量，那麼這張圖中必然不存在橋（割邊），我們可以使用 Tarjan 求解割邊的方法得到一張圖的所有邊雙連通分量。

解法一

先用 Tarjan 預處理出圖中所有的橋，再用 DFS 跑一邊即可。

int id[N], dcc_cnt;
vector<vector<int>> vec;

void tarjan(int ver, int edge)
{
    dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;
    for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
    {
        int to = e[i];
        if (i == (edge ^ 1)) continue;
        if (!dfn[to])
        {
            tarjan(to, i);
            low[ver] = min(low[ver], low[to]);
            if (low[to] > dfn[ver])
                bridge[i] = bridge[i ^ 1] = true;
        }
        else low[ver] = min(low[ver], dfn[to]);
    }
}

void dfs(int ver, int dcc_cnt)
{
    id[ver] = dcc_cnt, vec.back().push_back(ver);
    for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
    {
        int to = e[i];
        if (id[to] || bridge[i]) continue;
        dfs(to, dcc_cnt);
    }
}

解法二

因為無向圖的特性，如果一個分量中的所有點的 low 值一樣，那麼說明它們都可以最早回溯到同一個點，這也是說明了它們屬於同 DFS 生成樹上的同一個強連通分量，等價於無向圖上的同一個邊雙連通分量。

此時，\(dfn\) 值最小的一個點，就屬於在這個連通分量上的根。我們採取類似強連通分量的方法將遍歷的點依次加入棧中，最後彈出即可。

而由於無向圖的特性，不會存在橫叉邊，程式碼更加簡單。

void tarjan(int ver, int edge)
{
	dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;
	stk[++ top] = ver;
	for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
	{
		if (i == (edge ^ 1)) continue;
		int to = e[i];
		if (!dfn[to])
		{
			tarjan(to, i);
			low[ver] = min(low[ver], low[to]);
		}
		else low[ver] = min(low[ver], dfn[to]);
	}
	
	if (low[ver] == dfn[ver])
	{
		int temp = 0;
		dcc_cnt ++, vec.push_back(vector<int>());
		do { 
			temp = stk[top --];
			vec.back().push_back(temp);
		} while (temp != ver);
	}
}

點雙連通分量

定義

在一張聯通的無向圖中，對於任意兩點 \(u\) 和 \(v\)，刪去任意其中一點都無法使其不連通（即連通數不變），我們就說這兩點是點雙連通。

對於一個無向圖中的 極大 點雙連通的子圖，我們稱這個子圖為一個 點雙連通分量。

解法過程

與邊雙連通分量不同的是，一個點可能在多個不同的點雙聯同分量之中出現，而根據定義可知，這個點一定是割點（或者樹根）。

  • 如果是割點，那麼它一定是點雙連通分量的根。
  • 如果為樹根，並且有大於一個子樹時，它是割點；否則就是一個點雙的根（孤立點自身也可看作點雙）。

採取類似求割點的方法，同時特判孤立點。

void tarjan(int ver, int root)
{
    dfn[ver] = low[ver] = ++ timestamp;
    stk[++ top] = ver;

    if (ver == root && h[ver] == -1)	// 特判孤立點
    {
        ++ dcc_cnt;
        vec.push_back(vector<int>());
        vec.back().push_back(ver);
    }

    for (int i = h[ver]; ~i; i = ne[i])
    {
        int to = e[i];
        if (!dfn[to])
        {
            tarjan(to, root);
            low[ver] = min(low[ver], low[to]);
            if (low[to] >= dfn[ver]) 
            {
                ++ dcc_cnt, vec.push_back(vector<int>());
                int temp = 0;
                do {
                    temp = stk[top --];
                    vec.back().push_back(temp);
                } while (temp != to);
                vec.back().push_back(ver);
            }
        }
        else low[ver] = min(low[ver], dfn[to]);
    }
}

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