軟考筆記-有向圖的鄰接矩陣

軟考筆記-有向圖的鄰接矩陣

下面是2024年上半年的選擇題：

對下列有向圖的鄰接矩陣，進行深度遍歷的次序是( )。

V1	V2	V3	V4	V5	V6
∞	18	3	∞	∞	∞
∞	∞	5	∞	4	∞
∞	∞	∞	∞	∞	∞
∞	15	∞	∞	∞	∞
∞	∞	∞	12	∞	∞
∞	∞	∞	∞	∞	∞

A.v1-v2-v3-v4-v5-v6 B.v1-v4-v2-v3-v5-v6

C.v1-v2-v3-v5-v4-V6 D.v1-V2-v5-V4-v3-v6

解答：

題目中給出的圖需要最佳化，方便我們找各個頂點之間的關係，如下：

	V1	V2	V3	V4	V5	V6
V1	∞	18	3	∞	∞	∞
V2	∞	∞	5	∞	4	∞
V3	∞	∞	∞	∞	∞	∞
V4	∞	15	∞	∞	∞	∞
V5	∞	∞	∞	12	∞	∞
V6	∞	∞	∞	∞	∞	∞

在這個圖中，節點V1到V6之間的連線情況如下（∞表示沒有直接邊）：

• V1 -> V2 (權重18)
• V1 -> V3 (權重3)
• V2 -> V3 (權重5)
• V2 -> V5 (權重4)
• V4 -> V2 (權重15)
• V5 -> V4 (權重12)

深度優先搜尋(DFS)是從給定的起始頂點開始，儘可能深地探索每個分支，直到無法繼續為止，然後回溯並嘗試另一條路徑。根據題目提供的鄰接矩陣，我們從V1開始進行深度遍歷。假設從V1開始：

1. 從V1出發，可以去V2或V3。
2. 我們選擇先訪問V3（也可以先訪問V2，但為了簡化說明，這裡以V3為例）。因此，當前遍歷順序為[V1, V3]。
3. V3沒有其他可訪問的鄰居，所以回到V1。
4. 從V1再去V2。現在遍歷順序為[V1, V3, V1, V2]。
5. 從V2出發，可以選擇V3或者V5。由於V3已經被訪問過，我們前往V5。遍歷順序更新為[V1, V3, V1, V2, V5]。
6. 從V5出發，可以去V4。遍歷順序變為[V1, V3, V1, V2, V5, V4]。
7. V4指向V2，但由於V2已經訪問過了，所以停止。因此，一個可能的深度遍歷次序是：V1 -> V3 -> V1 -> V2 -> V5 -> V4。

需要注意的是，選項中沒有這個選項。原因：如果選擇不同的起點或者是對等選項時選擇了不同的下一個節點，則最終得到的具體遍歷順序可能會有所不同。例如，如果一開始選擇了從V1到V2而不是V3，那麼結果會有所變化。

那麼我們選擇從V1到V2，重複上述步驟：

1. 從V1出發，可以去V2或V3。
2. 我們選擇先訪問V2。因此，當前遍歷順序為[V1, V2]。
3. V2可以訪問V3。所以，當前遍歷順序為[V1, V2，V3]。
4. V3沒有其他可訪問的鄰居，所以回到V2。[V1, V2，V3，V2]。
5. 再從V2出發，由於V3訪問過了，所以現在訪問V5。[V1, V2，V3，V2，V5]。
6. 再從V5出發，V5只能訪問V4。[V1, V2，V3，V2，V5，V4]。
7. 再從V4出發，V4只能訪問V2，但是V2訪問過了。當目前只有V6沒有訪問，看圖可知，V6在這個過程中並沒有被訪問到，因為V6在圖中是孤立的節點，沒有任何邊與之相連。V6的部分實際上是無法透過DFS直接訪問到的。如果題目要求包含所有節點，那麼V6應該被視為孤立節點，單獨處理。所以最後單獨訪問V6。最終的結果是[V1, V2，V3，V2，V5，V4，V6]。

我們得到的答案是：[V1, V2，V3，V2，V5，V4，V6]

注意我們重複步驟時，為了儘可能詳細，回溯V2時保留了再次從V2出發的頂點，這個是可以省略的。所以最終結果是：[V1, V2，V3，V5，V4，V6]，選C。