我覺得圖這一章的學習內容更有難度，其實圖可以說是樹結構更為普通的表現形式，它的每個元素都可以與多個元素之間相關聯，所以結構比樹更復雜，然而越複雜的資料結構在現實中用途就越大了，功能與用途密切聯絡，所以，圖結構非常重要，學習起來也是有點難度的，在於圖的儲存結構和邏輯結構，以及它與其他輔助資料結構相結合（連結串列，佇列等），這需要很清晰的邏輯思維，才能把知識貫通。
這麼重要的圖，它的特別重要應用（最小生成樹、最短路徑、拓撲排序、關鍵路徑），還有這些應用中一些著名演算法，圖的這章內容的豐富，讓我大開眼界！
學習圖最基礎的內容，也是實現其他操作最基礎、最關鍵的部分，就是圖的儲存結構，圖的遍歷。這裡我準備總結一下在做題目時候對鄰接矩陣、鄰接表，深度優先搜尋遍歷、廣度優先搜尋遍歷的理解，而對於應用的各種演算法，還需要繼續學習，才有更深刻的理解。
PTA上題目：列出連通集
給定一個有N個頂點和E條邊的無向圖，請用DFS和BFS分別列出其所有的連通集。假設頂點從0到N−1編號。進行搜尋時，假設我們總是從編號最小的頂點出發，按編號遞增的順序訪問鄰接點。
輸入格式:
輸入第1行給出2個整數N(0<N≤10)和E，分別是圖的頂點數和邊數。隨後E行，每行給出一條邊的兩個端點。每行中的數字之間用1空格分隔。
輸出格式:
按照 “ { v1, v2, v3, ... ,vk } ”的格式，每行輸出一個連通集。先輸出DFS的結果，再輸出BFS的結果。
輸入樣例: 輸出樣例:
8 6 { 0 1 4 2 7 }
0 7 { 3 5 }
0 1 { 6 }
2 0 { 0 1 2 7 4 }
4 1 { 3 5 }
2 4 { 6 }
3 5 跟據這道題題意，可明顯以看出用鄰接矩陣的儲存結構較容易，而且輸入中沒有頂點名，直接用陣列下標就可以，所以儲存輸入資料還是比較簡單實現的，下面是鄰接矩陣儲存定義：
typedef int ArcType; //邊 type char VerTexType;//頂點名字，這道題不需要用到 typedef struct { VerTexType vexs[100];//頂點表 ArcType arcs[100][100];//鄰接矩陣 int vexnum,arcnum;//頂點數和邊數 }AMGraph;
接下來建立無向圖：
void create(AMGraph &G)//鄰接矩陣建立無向圖 { int i,j,k; int x,y; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; for(i=0;i<G.vexnum;i++)//初始化矩陣元素值為0 { for(j=0;j<G.arcnum;j++) G.arcs[i][j]=0; } for(k=0;k<G.arcnum;k++)//輸入一條邊的兩個端點 { cin>>x>>y; G.arcs[x][y]=1;//並將對應矩陣中元素值置1,表示此兩點間存在邊 G.arcs[y][x]=1;//無向圖的矩陣為對稱的 } }
因為題目的特殊性，找頂點對應的下標的LocateVex函式就省去了，直接用輸入資料，所以簡單很多。繼續是圖的遍歷，先DFS演算法，對於非連通圖，需要兩個函式來完成圖的遍歷，剛好這道題目也是輸入連通分量，DFSAM函式是對一個連通分量的遍歷，DFS是對整個圖，有幾個連通分量就呼叫幾次DFSAM：
void DFSAM(AMGraph G,int v)//一個連通分量的深度優先搜尋遍歷 { int w; cout<<v<<" ";visit[v]=true;//輸出第一個點，同時記錄已經訪問過 for(w=0;w<G.vexnum;w++) { if(G.arcs[v][w]!=0&&(!visit[w])) DFSAM(G,w);//對尚未訪問過且與上一個頂點間存在邊的頂點遞迴呼叫 } } void DFS(AMGraph G)//非連通圖的深度優先搜尋遍歷 { int v; for(v=0;v<G.vexnum;v++) visit[v]=false;//標記陣列初始化 for(v=0;v<G.vexnum;v++) { if(!visit[v])//對於未訪問的頂點呼叫DFSAMG函式 { cout<<"{ "; DFSAM(G,v); cout<<"}"<<'\n'; } } }
繼續是廣度優先搜尋遍歷（BFS），感覺相對於DFS在演算法上更難一點，需要藉助佇列的儲存結構來完成，這跟上一章樹的層次遍歷差不多。上課時候討論過有兩種方法可以實現，一是先將頂點入隊，再訪問；二是先訪問頂點，再入隊，後者更優，它避免了將已經訪問過的頂點進行多餘的入隊操作。
void BFSAM(AMGraph G,int v)//一個連通分量的廣度優先搜尋遍歷 { queue<int> q; int w,x; cout<<v<<" ";//採用先訪問再入隊方法 q.push(v); visit[v]=true;//入隊第一個點，同時記錄已經訪問過 while(!q.empty())//迴圈下面操作，直到隊空 { x=q.front();//記錄此時隊頭頂點，再出隊 q.pop(); for(w=0;w<G.vexnum;w++)//遍歷查詢鄰接點 { if(G.arcs[x][w]!=0&&(!visit[w]))//若兩點間有邊且未訪問 { cout<<w<<" "; //輸入此頂點 visit[w]=true;//標記已經訪問過 q.push(w);//將此點入隊 } } } } void BFS(AMGraph G)//非連通圖的深廣度優先搜尋遍歷 { int v; for(v=0;v<G.vexnum;v++) visit[v]=false; for(v=0;v<G.vexnum;v++) { if(!visit[v])//對於未訪問的頂點呼叫DFSALG函式 { cout<<"{ "; BFSAM(G,v); cout<<"}"<<'\n'; } } }
對於上面鄰接矩陣查詢頂點的下一個鄰接點和判斷是否有邊存在，是通過遍歷所有頂點和一個if語句完成，而在鄰接表中，這一步操作就不一樣了。
鄰接矩陣比較熟悉，容易操作，但它適合用在稠密圖，空間複雜度高O（n2），稀疏圖中尤其浪費空間，所以有時需要採用鄰接表。因此，這道題我準備試一下用鄰接表，順便加深一下對演算法的理解。鄰接表儲存結構的定義複雜許多，如下：
typedef struct Arcnode { int ad;//頂點所在位置（下標） struct Arcnode *next;//指向下一條邊的指標 }Arcnode; typedef struct Vnode//頂點資訊（表） { Arcnode *first; }Vnode,Al[100]; typedef struct//鄰接表 { Al ver;//頂點陣列 int vexnum,arcnum;//頂點數和邊數 }ALGraph;
表頭結點和邊結點：
然後建立無向圖就是對每個指標指向的操作：
void create(ALGraph &G) { int i,j,k,x,y; Arcnode *p,*p1; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; for(i=0;i<G.vexnum;i++) G.ver[i].first=NULL; for(k=0;k<G.arcnum;k++)//輸入一條邊的兩個端點 { cin>>x>>y; p=new Arcnode;//無向圖的兩點互相指向對方 p->ad=y;p->next=G.ver[x].first;G.ver[x].first=p; p1=new Arcnode; p1->ad=x;p1->next=G.ver[y].first;G.ver[y].first=p1; } }
開始我在新結點那裡出錯，出現很奇怪的結果，鏈式結構的儲存確實很容易出現小錯誤，接著在DFSAL中跟矩陣判斷條件有所不同，需要一個指標指向起始位置，在while迴圈裡還有修改指標指向：
void DFSAL(ALGraph G,int v)//一個連通分量的深度優先搜尋遍歷 { int w; cout<<v<<" ";visit[v]=true; Arcnode *p2; p2=new Arcnode; //輸出第一個點，同時記錄已經訪問過 p2=G.ver[v].first; while(p2) { w=p2->ad; if(!visit[w]) DFSAL(G,w);//對尚未訪問過且與上一個頂點間存在邊的頂點遞迴呼叫 p2=p2->next; } }
鄰接表的BFS演算法操作有點難，我在這裡卡了，出現許多錯誤，這裡有佇列，有連結串列，在判斷和指標操作有些問題，開始問題出現有：沒有定義指標變數指向訪問頂點；在while迴圈之後未修改指標指向，導致死迴圈；再修改錯誤過程中，忘記將元素出隊還有出隊位置不對，執行出錯。經過一波修改，最後終於成功了
void BFSAL(ALGraph G,int v)//一個連通分量的廣度優先搜尋遍歷 { queue<int> q; int w,x; cout<<v<<" ";//採用先訪問再入隊方法 q.push(v); visit[v]=true;//入隊第一個點，同時記錄已經訪問過 while(!q.empty())//迴圈下面操作，直到隊空 { x=q.front();//記錄此時隊頭頂點，再出隊 Arcnode *p3; p3=new Arcnode; p3=G.ver[x].first; q.pop(); while(p3) { w=p3->ad; if(!visit[w])//若兩點間有邊且未訪問 { cout<<w<<" "; //輸入此頂點 visit[w]=true;//標記已經訪問過 q.push(w);//將此點入隊 } p3=p3->next; } } }
然後又發現一個問題，整個程式執行沒有問題，但是與題目輸出結果在第一個連通分量順序不同，那究竟在哪有錯誤，我仔細看了一遍，畫一下建立鄰接表時候每個點的關係，最後發現是因為儲存結構不同，就連結串列來說，這個建立的時候是前插法，輸出順序與輸入順序有關係，這道題要求“從編號最小的頂點出發，按編號遞增的順序訪問鄰接點”，就僅限於用鄰接矩陣方法實現。
但在這個過程中發現問題，解決問題，更明白許多，特別對不太熟悉的鄰接表方法，有更深的理解。下面是完整程式碼，雖然暫時不適應解決這道題，但以後可能要用到這種思想。
#include<iostream> #include<queue> using namespace std; bool visit[100];//訪問標記陣列 typedef int ArcType; //邊 typedef struct Arcnode { int ad; struct Arcnode *next; }Arcnode; typedef struct Vnode { Arcnode *first; }Vnode,Al[100]; typedef struct { Al ver; int vexnum,arcnum; }ALGraph; void create(ALGraph &G) { int i,j,k,x,y; Arcnode *p,*p1; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; for(i=0;i<G.vexnum;i++) G.ver[i].first=NULL; for(k=0;k<G.arcnum;k++)//輸入一條邊的兩個端點 { cin>>x>>y; p=new Arcnode; p->ad=y;p->next=G.ver[x].first;G.ver[x].first=p; p1=new Arcnode; p1->ad=x;p1->next=G.ver[y].first;G.ver[y].first=p1; } } void DFSAL(ALGraph G,int v)//一個連通分量的深度優先搜尋遍歷 { int w; cout<<v<<" ";visit[v]=true; Arcnode *p2; p2=new Arcnode; //輸出第一個點，同時記錄已經訪問過 p2=G.ver[v].first; while(p2) { w=p2->ad; if(!visit[w]) DFSAL(G,w);//對尚未訪問過且與上一個頂點間存在邊的頂點遞迴呼叫 p2=p2->next; } } void DFS(ALGraph G)//非連通圖的深度優先搜尋遍歷 { int v; for(v=0;v<G.vexnum;v++) visit[v]=false;//標記陣列初始化 for(v=0;v<G.vexnum;v++) { if(!visit[v])//對於未訪問的頂點呼叫DFSAMG函式 { cout<<"{ "; DFSAL(G,v); cout<<"}"<<'\n'; } } } void BFSAL(ALGraph G,int v)//一個連通分量的廣度優先搜尋遍歷 { queue<int> q; int w,x; cout<<v<<" ";//採用先訪問再入隊方法 q.push(v); visit[v]=true;//入隊第一個點，同時記錄已經訪問過 while(!q.empty())//迴圈下面操作，直到隊空 { x=q.front();//記錄此時隊頭頂點，再出隊 Arcnode *p3; p3=new Arcnode; p3=G.ver[x].first; q.pop(); while(p3) { w=p3->ad; if(!visit[w])//若兩點間有邊且未訪問 { cout<<w<<" "; //輸入此頂點 visit[w]=true;//標記已經訪問過 q.push(w);//將此點入隊 } p3=p3->next; } } } void BFS(ALGraph G)//非連通圖的深度優先搜尋遍歷 { int v; for(v=0;v<G.vexnum;v++) visit[v]=false;//標記陣列初始化 for(v=0;v<G.vexnum;v++) { if(!visit[v])//對於未訪問的頂點呼叫DFSAMG函式 { cout<<"{ "; BFSAL(G,v); cout<<"}"<<'\n'; } } } int main() { ALGraph g; create(g); DFS(g); BFS(g); return 0; }
這一章還有很多需要學習，這裡只是對圖的理解和最基礎的的操作，後面許多演算法還只停留在理解，實際應用還實現不了，接下來需要對圖的應用那部分內容有更多的學習和探索。