「學習筆記」雙連通分量、割點與橋

yi_fan0305發表於2023-05-07

文章圖片全部來自 Oi-wiki,部分圖片加以修改

前面我們在學 tarjan 演算法時,提到過強連通分量,即有向圖上的環,那麼無向圖上是否也有強連通分量呢?很遺憾,沒有
但是,無向圖有雙連通分量!分為點雙連通和邊雙連通(下面簡稱點雙和邊雙)。

邊雙連通分量

概念

在一張聯通的無向圖中,對於兩個點 \(x\)\(y\),刪去圖上的任意一條邊,兩個點始終保持聯通,則這兩個點是邊雙連通。
邊雙連通分量,即極大邊雙連通子圖,邊雙連通分量中的任意兩點都是邊雙連通的,且如果加入一個不屬於該子圖的點,都會導致這個圖不再滿足兩兩之間邊雙的性質。
在無向圖中。刪掉一條邊,導致兩個圖不連通了,這條邊就是割邊,也叫做

邊雙連通具有傳遞性,即如果 \(x\)\(y\) 邊雙連通,\(y\)\(z\) 邊雙連通,則 \(x\)\(z\) 也邊雙連通。
image
如圖,在這張圖中,\(A\)\(B\) 邊雙連通,\(B\)\(C\) 邊雙連通,根據傳遞性,\(A\)\(C\) 邊雙連通。(即使不跟據傳遞性,他們也的確是邊雙連通)

找橋的過程

image
如圖,綠色的邊和黑色的邊都是樹邊,紅色的邊是返祖邊。
我們發現,每一條返祖邊都對應著一條樹上的簡單路徑,即覆蓋了樹上的一些邊,覆蓋了的邊我們用綠邊表示,黑色的邊沒有被覆蓋。我們如果刪去返祖邊或者任意一條綠邊,都不會影響圖的連通性(如果刪掉返祖邊就從綠邊走,如果刪掉綠邊就從返祖邊走),但是,如果我們刪掉黑邊,那麼整個圖就會被一分為二,不再保持聯通,這些黑色的邊就是橋,同時返祖邊和綠邊一定不是橋
這樣,我們只要找到所有的橋,就能確定邊雙連通分量了。
找邊雙連通分量,我們可以用 tarjan 演算法。

void tarjan(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++ tim; // 打上時間戳
	for (int i = h[u], v; i; i = e[i].nxt) {
		v = e[i].v;
		if ((i ^ 1) == fa)	continue;
		if (!dfn[v]) { // 如果這個點從未被搜過
			tarjan(v, i); // 繼續往下搜
			low[u] = min(low[u], low[v]); // 正常更新 low 值
			if (low[v] > dfn[u]) { // 如果 v 點無法透過返祖邊向上返回到 u 點即往上
				e[i].ok = e[i ^ 1].ok = 1; // 那麼這條邊就是橋
			}
			// 不理解的話可以想一想,v 點不管怎麼向上都不能到達 u 點即更靠上的位置,那 u -> v 這條邊就沒有被返祖邊覆蓋,它就是橋
		}
		else { // 如果這個點已經被搜過了(說明這條邊是返祖邊)
			low[u] = min(low[u], dfn[v]); // 更新 low 值(比較的是 dfn[v],不是 low[v])
		}
	}
}

找邊雙連通分量

有兩種方式,像找強連通分量那樣用一個棧,或者標記橋之後再 dfs。
洛谷模板題測試,用棧比標記橋更快一些。

  • 用棧找雙連通分量
void tarjan(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++ tim;
	sta.push_back(u);
	for (auto [v, i] : son[u]) {
		if (i == fa)	continue;
		if (! dfn[v]) {
			tarjan(v, i);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
		}
		else {
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if (dfn[u] == low[u]) {
		ans[++ dcc].push_back(u);
		while (sta.back() != u) {
			ans[dcc].push_back(sta.back());
			sta.pop_back();
		}
		sta.pop_back();
	}
}
  • 標記橋,dfs。
void tarjan(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++ tim;
	for (auto [v, i] : son[u]) {
		if (i == fa)	continue;
		if (! dfn[v]) {
			tarjan(v, i);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (low[v] > dfn[u]) {
				ok[i] = 1;
			}
		}
		else {
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
}

void dfs(int u) { // dfn 要清零,你也可以再開一個陣列
	ans[dcc].push_back(u);
	dfn[u] = 1;
	for (auto [v, i] : son[u]) {
		if (dfn[v] || ok[i])	continue;
		dfs(v);
	}
}

點雙連通分量

概念

在一張聯通的無向圖中,對於兩個點 \(x\)\(y\),刪去圖上的任意一個點(不能刪去 \(x\)\(y\)),兩個點始終保持聯通,則這兩個點是點雙連通。

刪去一個點,會刪掉這個點以及這個點所連線的所有的邊,所以橋連線的兩個點都是割點。

點雙連通分量,即極大點雙連通子圖,點雙連通分量中的任意兩點都是點雙連通的,且如果加入一個不屬於該子圖的點,都會導致這個圖不再滿足兩兩之間點雙的性質。
在無向圖中。刪掉一個點,導致兩個圖不連通了,這個點就是割點

點雙連通沒有傳遞性,即如果 \(x\)\(y\) 點雙聯通,\(y\)\(z\) 點雙聯通,\(x\)\(z\) 不一定點雙聯通。
舉個例子。
image
\(A\)\(B\) 點雙連通,\(B\)\(C\) 點雙連通,但是 \(A\)\(C\) 並不是點雙連通。(割點為 \(B\)

過程

image
如圖,黑色的邊是樹邊,紅色的邊是返祖邊,每一條返祖邊對應著一條簡單路徑。
現在,我們將每一條邊看作是一個點,即圖上藍色的點,返祖邊所覆蓋的簡單路徑上的邊都連上邊,即圖上的藍邊。
這樣,要判斷點是否為割點,只要判斷這個點連出去的邊是否在一個連通分量裡,都在一個連通分量裡,就不是割點,否則就是割點
這裡還有另一種做法。
對於某個頂點 \(u\),如果存在至少一個頂點 \(v\),使得 low[v] \(\geq\) dfn[u],即不能回到祖先,那麼 \(u\) 點為割點。
但這個做法唯獨不適用於搜尋樹的起始點,即搜尋樹的根,如果根只有一個子樹,那我們把根節點刪去,對圖的連通性不會有任何影響,即根節點不是割點,如果根節點有著至少兩個子樹,那麼根節點就是割點。

void tarjan(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++ cnt;
	int son = 0;
	for (int i = h[u], v; i; i = e[i].nxt) {
		v = e[i].v;
		if (v == fa)	continue;
		if (!dfn[v]) {
			++ son;
			tarjan(v, u);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (low[v] >= dfn[u]) {
				ok[u] = 1;
				++ dcc;
			}
		}
		else {
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if (fa == 0 && son < 2)	ok[u] = 0;
}

應用

在題目中,橋一般出現在“給定一張無向圖,問是否有一種方案,能給定向,同時保證每個點都能走到”這樣類似的題目上,在這道題中,有橋就沒有可行方案,倘若要輸出方案,我們可以利用 dfs 生成樹。
由於邊雙比點雙有著更好的性質,所以一般題目都是有關邊雙的。

關於用 vector 來寫 tarjan

優點:動態空間,方便。
缺點:慢!
上面的程式碼我們也看到了,有些題目有重邊,用一般的 vector 存圖方式判斷是否走過重邊,這裡有一個方式可以實現用 vector 來找重邊,那就是將 vector 的變數型別改成 pair,第一個元素存到達的節點,第二個元素存這條邊的編號,如果不保險可以再開一個 vector 、結構體或兩個陣列來存第 \(i\) 條邊的兩個端點的編號,像這樣。

e.push_back({0, 0});
for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {
	scanf("%d%d", &x, &y);
	son[x].push_back({y, i});
	son[y].push_back({x, i});
	e.push_back({x, y});
}

這樣,我們在 tarjan 判重邊的的過程中可以直接判斷編號了。

void tarjan(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++ tim;
	for (auto [v, i] : son[u]) {
		if (i == fa)	continue;
		if (! dfn[v]) {
			tarjan(v, i);
			low[u] = min(low[v], low[u]);
			if (low[v] > dfn[u]) {
				ok[i] = 1;
			}
		}
		else {
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
}

對於找割點,我們直接用 vector 就行了,這裡不存在任何限制,就是會慢。

void tarjan(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++ cnt;
	st[++ top] = u;
	int ch = 0;
	for (int v : son[u]) {
		if (v == fa)	continue;
		if (!dfn[v]) {
			++ ch;
			tarjan(v, u);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (low[v] >= dfn[u]) {
				ok[u] = 1;
				++ dcc;
				while (st[top + 1] != v) {
					ans[dcc].push_back(st[top --]);
				}
				ans[dcc].push_back(u);
			}
		}
		else {
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if (fa == 0 && ch == 0)	ans[++ dcc].push_back(u);
	if (fa == 0 && ch < 2)	ok[u] = 0;
}

題目

都是來源於洛谷的模板題
P8436 【模板】邊雙連通分量

  • 直接用棧來找邊雙。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;

const int N = 5e5 + 5;
const int M = 2e6 + 5;

int n, m, cnt = 1, tim, top, dcc;
int h[N], dfn[N], low[N];
bool ok[M];
vector<pii> son[N];
vector<int> ans[N], sta;

struct edge {
	int v, nxt;
	bool ok;
} e[M << 1];

void add(int u, int v) {
	e[++ cnt].nxt = h[u];
	e[h[u] = cnt].v = v;
}

void tarjan(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++ tim;
	sta.push_back(u);
	for (auto [v, i] : son[u]) {
		if (i == fa)	continue;
		if (! dfn[v]) {
			tarjan(v, i);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
		}
		else {
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if (dfn[u] == low[u]) {
		ans[++ dcc].push_back(u);
		while (sta.back() != u) {
			ans[dcc].push_back(sta.back());
			sta.pop_back();
		}
		sta.pop_back();
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {
		scanf("%d%d", &x, &y);
		son[x].push_back({y, i});
		son[y].push_back({x, i});
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		if (!dfn[i]) {
			tarjan(i, 0);
		}
	}
	printf("%d\n", dcc);
	for (int i = 1; i <= dcc; ++ i) {
		int siz = ans[i].size();
		printf("%d ", siz);
		for (int j : ans[i]) {
			printf("%d ", j);
		}
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}
  • 標記橋,透過 dfs 來找邊雙。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;

const int N = 5e5 + 5;
const int M = 2e6 + 5;

int n, m, cnt = 1, tim, top, dcc;
int h[N], dfn[N], low[N];
bool ok[M];
vector<int> ans[N];
vector<pii> son[N];

struct edge {
	int v, nxt;
	bool ok;
} e[M << 1];

void add(int u, int v) {
	e[++ cnt].nxt = h[u];
	e[h[u] = cnt].v = v;
}

void tarjan(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++ tim;
	for (auto [v, i] : son[u]) {
		if (i == fa)	continue;
		if (! dfn[v]) {
			tarjan(v, i);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (low[v] > dfn[u]) {
				ok[i] = 1;
			}
		}
		else {
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
}

void dfs(int u) {
	ans[dcc].push_back(u);
	dfn[u] = 1;
	for (auto [v, i] : son[u]) {
		if (dfn[v] || ok[i])	continue;
		dfs(v);
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {
		scanf("%d%d", &x, &y);
		son[x].push_back({y, i});
		son[y].push_back({x, i});
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		if (!dfn[i]) {
			tarjan(i, 0);
		}
	}
	memset(dfn, 0, sizeof dfn);
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		if (!dfn[i]) {
			++ dcc;
			dfs(i);
		}
	}
	printf("%d\n", dcc);
	for (int i = 1; i <= dcc; ++ i) {
		int siz = ans[i].size();
		printf("%d ", siz);
		for (int j : ans[i]) {
			printf("%d ", j);
		}
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

P8435 【模板】點雙連通分量

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 5e5 + 5;
const int M = 2e6 + 5;

int n, m, cnt, top, dcc;
int h[N], dfn[N], low[N], st[N];
bool ok[N];
vector<int> son[N], ans[N];

void tarjan(int u, int fa) {
	dfn[u] = low[u] = ++ cnt;
	st[++ top] = u;
	int ch = 0;
	for (int v : son[u]) {
		if (v == fa)	continue;
		if (!dfn[v]) {
			++ ch;
			tarjan(v, u);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (low[v] >= dfn[u]) {
				ok[u] = 1;
				++ dcc;
				while (st[top + 1] != v) {
					ans[dcc].push_back(st[top --]);
				}
				ans[dcc].push_back(u);
			}
		}
		else {
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
	if (fa == 0 && ch == 0)	ans[++ dcc].push_back(u);
	if (fa == 0 && ch < 2)	ok[u] = 0;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {
		scanf("%d%d", &x, &y);
		son[x].push_back(y);
		son[y].push_back(x);
	}
	cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		if (!dfn[i]) {
			top = 0;
			tarjan(i, 0);
		}
	}
	printf("%d\n", dcc);
	for (int i = 1; i <= dcc; ++ i) {
		printf("%d ", (int)ans[i].size());
		for (int j : ans[i]) {
			printf("%d ", j);
		}
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

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