強連通圖的演算法

 

有向圖強連通分量的Tarjan演算法 [有向圖強連通分量]

在有向圖G中，如果兩個頂點間至少存在一條路徑，稱兩個頂點強連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。非強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components)。

下圖中，子圖{1,2,3,4}為一個強連通分量，因為頂點1,2,3,4兩兩可達。{5},{6}也分別是兩個強連通分量。

直接根據定義，用雙向遍歷取交集的方法求強連通分量，時間複雜度為O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju演算法或Tarjan演算法，兩者的時間複雜度都是O(N+M)。本文介紹的是Tarjan演算法。 [Tarjan演算法]

Tarjan演算法是基於對圖深度優先搜尋的演算法，每個強連通分量為搜尋樹中的一棵子樹。搜尋時，把當前搜尋樹中未處理的節點加入一個堆疊，回溯時可以判斷棧頂到棧中的節點是否為一個強連通分量。

定義DFN(u)為節點u搜尋的次序編號(時間戳)，Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節點的次序號。由定義可以得出，

Low(u)=Min
{
   DFN(u),
   Low(v),(u,v)為樹枝邊，u為v的父節點
   DFN(v),(u,v)為指向棧中節點的後向邊(非橫叉邊)
}

當DFN(u)=Low(u)時，以u為根的搜尋子樹上所有節點是一個強連通分量。

演算法虛擬碼如下

tarjan(u)
{
	DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 為節點u設定次序編號和Low初值
	Stack.push(u)                              // 將節點u壓入棧中
	for each (u, v) in E                       // 列舉每一條邊
		if (v is not visted)               // 如果節點v未被訪問過
			tarjan(v)                  // 繼續向下找
			Low[u] = min(Low[u], Low[v])
		else if (v in S)                   // 如果節點v還在棧內
			Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
	if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果節點u是強連通分量的根
		repeat
			v = S.pop                  // 將v退棧，為該強連通分量中一個頂點
			print v
		until (u== v)
}

接下來是對演算法流程的演示。

從節點1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜尋到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通分量。退棧到u=v為止，{6}為一個強連通分量。

返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧後{5}為一個強連通分量。

返回節點3，繼續搜尋到節點4，把4加入堆疊。發現節點4向節點1有後向邊，節點1還在棧中，所以LOW[4]=1。節點6已經出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)為樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

繼續回到節點1，最後訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1後，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點全部取出，組成一個連通分量{1,3,4,2}。

至此，演算法結束。經過該演算法，求出了圖中全部的三個強連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以發現，執行Tarjan演算法的過程中，每個頂點都被訪問了一次，且只進出了一次堆疊，每條邊也只被訪問了一次，所以該演算法的時間複雜度為O(N+M)。

求有向圖的強連通分量還有一個強有力的演算法，為Kosaraju演算法。Kosaraju是基於對有向圖及其逆圖兩次DFS的方法，其時間複雜度也是 O(N+M)。與Trajan演算法相比，Kosaraju演算法可能會稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對原圖進行一次DFS，不用建立逆圖，更簡潔。在實際的測試中，Tarjan演算法的執行效率也比Kosaraju演算法高30%左右。此外，該Tarjan演算法與求無向圖的雙連通分量(割點、橋)的Tarjan演算法也有著很深的聯絡。學習該Tarjan演算法，也有助於深入理解求雙連通分量的Tarjan演算法，兩者可以類比、組合理解。

求有向圖的強連通分量的Tarjan演算法是以其發明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan還發明瞭求雙連通分量的Tarjan演算法，以及求最近公共祖先的離線Tarjan演算法，在此對Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan演算法的C++程式

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 100
#define M 100
struct Edge
{
    int v;
    int next;
};
Edge edge[M];//邊的集合

int node[N];//頂點集合
int instack[N];//標記是否在stack中
int stack[N];
int Belong[N];//各頂點屬於哪個強連通分量
int DFN[N];//節點u搜尋的序號(時間戳)
int LOW[N];//u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節點的序號(時間戳)
int n, m;//n：點的個數；m：邊的條數
int cnt_edge;//邊的計數器
int Index;//序號(時間戳)
int top;
int Bcnt;//有多少個強連通分量

void add_edge(int u, int v)//鄰接表儲存
{
    edge[cnt_edge].next = node[u];
    edge[cnt_edge].v = v;
    node[u] = cnt_edge++;
}
void tarjan(int u)
{
    int i,j;
    int v;
    DFN[u]=LOW[u]=++Index;
    instack[u]=true;
    stack[++top]=u;
    for (i = node[u]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        v=edge[i].v;
        if (!DFN[v])//如果點v沒被訪問
        {
            tarjan(v);
            if (LOW[v]<LOW[u])
                LOW[u]=LOW[v];
        }
        else//如果點v已經被訪問過
            if (instack[v] && DFN[v]<LOW[u])
                LOW[u]=DFN[v];
    }
    if (DFN[u]==LOW[u])
    {
        Bcnt++;
        do
        {
            j=stack[top--];
            instack[j]=false;
            Belong[j]=Bcnt;
        }
        while (j!=u);
    }
}
void solve()
{
    int i;
    top=Bcnt=Index=0;
    memset(DFN,0,sizeof(DFN));
    memset(LOW,0,sizeof(LOW));
    for (i=1;i<=n;i++)
        if (!DFN[i])
            tarjan(i);
}
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j,k;
    cnt_edge=0;
    memset(node,-1,sizeof(node));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&j,&k);
        add_edge(j,k);
    }
    solve();
    for(i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",Belong[i]);
}