圖論複習之強連通分量以及縮點—Tarjan演算法

    在一個圖的子圖中，任意兩個點相互可達，也就是存在互通的路徑，那麼這個子圖就是強連通分量。（如果一個有向圖的任意兩個點相互可達，那麼這個圖就稱為強連通圖）。

【性質】

   如果u是某個強連通分量的根，那麼：

（1）u不存在路徑可以返回到它的祖先。

（2）u的子樹也不存在路徑可以返回到u的祖先。

【演算法描述】

  （1）我們先對每一個頂點判斷，如果已經被執行過了，則不動，否則進行擴充

  （2）對於每一個點，我們設2個值來表示（dfn和low){low[i]表示結點i的根結點的dfn值}，dfn則是結點i的時間戳

  （3）在第一次順序遍歷時，dfn[u]=low[u]=++cnt，初始化序列

  （4）然後將遍歷到的點壓入棧，並且置為已做過

  （5）在整個圖中列舉一條以u為右端點的邊(from,to)，然後判斷左端點是否已經入棧，如果已經入棧，則修改low[u]:low[u]=max(low[u],dfn(to))，如果沒入棧，則對其進行遞迴處理，返回時low[u]=min(low[u],low[to])

  （6）當出現dfn[u]==low[u]時，則表明已經出現一個強聯通分量，依次彈出並消除標記即可，此時cnt++，則該作用為統計聯通塊數量

【總結】

  上述演算法時間複雜度O(N+M)

【例題】

  codevs2822《愛在心中》

 

  很明顯，對於題目的第一問，我們只需要將給出的關係圖跑一遍裸的tarjan即可

  然而第二問顯然就不是那麼簡單了，題目要求我們找出容量為n-1的聯通塊，這裡要注意：

  不能直接計算，因為你的圖已經被第一問毀了。所以要再次構圖

  然後統計每個點的“爸爸”以及每個點的強聯通分量個數

  再尋找為n的即可，然後依次輸出

  時間複雜度O(4N+M)

程式碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int MaxN=1001;


int s[MaxN],top;
int n,m;
int ans;//聯通塊個數 
int dfn[MaxN],low[MaxN];
bool vis[MaxN],inq[MaxN];
int belong[MaxN];
int head[MaxN],hav[MaxN],h[MaxN];

struct graph{
	int to,next;
}G[MaxN],R[MaxN];

int cnt1=0,cnt2=0;

inline int minx(int a,int b){return a<b?a:b;}

void addedge(int u,int v){
	G[++cnt1].to=v;
	G[cnt1].next=head[u];
	head[u]=cnt1;
}

void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++cnt2;
	s[++top]=u;
	vis[u]=inq[u]=true;
	for(int i=head[u];i!=0;i=G[i].next){
	  	if(!dfn[G[i].to]){
	  	  tarjan(G[i].to);
	  	  low[u]=minx(low[u],low[G[i].to]);
	    }
	    else 
	    	if(inq[G[i].to])
			  low[u]=minx(low[u],dfn[G[i].to]);
	  }
	if(dfn[u]==low[u]){
		ans++;
		int j=0;
		while(j!=u){
			j=s[top--];
			inq[j]=false;
			belong[j]=ans;
			++hav[ans];
		}
	}
}

void rebuild(){
	int i,j,cnt=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=head[i];j!=0;j=G[j].next)
	      if(belong[G[j].to]!=belong[i])
	    	{
			  R[++cnt].to=belong[G[j].to];
			  R[cnt].next=h[belong[i]];
			  h[belong[i]]=cnt;
		    }
}
void work(){
  int i,ans1=0;
  for(i=1;i<=n;i++){
  	if(!vis[i])
  	  tarjan(i);
  }
  rebuild();
  for(i=1;i<=ans;i++)
    if(hav[i]>1)ans1++;
  printf("%d\n",ans1);
  ans1=-1;
  for(i=1;i<=ans;i++)
    if(!h[i]){
    	if(ans1!=-1 || hav[i]==1)
    	  {ans1=-1;break;}
    	else
    	  ans1=i;
    }
    if(ans1==-1)printf("%d",ans1);
    else {
    	for(i=1;i<=n;i++)
    	  if(belong[i]==ans1)printf("%d ",i);
    }
}

int main(){
  scanf("%d %d",&n,&m);
  int i,u,v;
  memset(vis,false,sizeof(vis)); 
  for(i=1;i<=m;i++){
  	scanf("%d %d",&u,&v);
  	addedge(u,v);
  }
  work();
  return 0;
}

-----------------------------------------thanks for watching------------------------------------------