現在，我們知道方程
ax+by=gcd(a,b)
總有整數解x與y，那麼方程有多少個解，解該怎樣表述呢 ？
我們由互素a與b開始，即讓gcd(a,b)=1，假設(x_1,y_1)是方程ax+by=1的一個解。透過x_1減去b的倍數和y_1加上a的相同倍數，可得到其他解。換句話說，對任何整數k，我們得到新解(x_1+kb,y_1-ka)，透過計算
a(x_1+kb)+b(y_1-ka)=ax_1+akb+by_1-bka=ax_1+by_1=1
仍舊觀察gcd(a,b)=1情形，可證明這種方法給出所有解，假設(x_1,y_1)與(x_2,y_2)是方程ax+by=1的兩個解，即
ax_1+by_1=1與ax_2+by_2=1
我們用y_1乘以第一個方程，用y_2乘以第二個方程，再相減就得到了b，整理後得到ax_1y_2-ax_2y_1=y_2-y_1
類似的，如果用x_2乘以第一個方程，用x_1乘以第二個方程，再相減便得到bx_2y_1-bx_1y_2=x_2-x_1
如果令k=x_2y_1-x_1y_2，則得到
x_2=x_1+kb\\ y_2=y_1-ka
所以，由初識解(x_1,y_1)透過去不同的k值可得到ax+by=1的每個解(x_1+kb,y_1-ka)
如果gcd(a,,b)>1情況會怎麼樣 ？
我們令g=gcd(a,b)，由歐幾里得演算法知方程ax+by=g至少一個解(x_1,y_1),而g整除a與b，故(x_1,y_1)是簡單方程
\frac{a}{g}x+\frac{b}{g}y=1
的解。透過將k的值代入
(x_1+k·\frac{b}{g},y_1-k \frac{a}{g})
###線性方程定理
設a與b是非零整數，g=gcd(a,b),方程ax+by=g總有一個整數解(x_1,y_1)，它可由前面的歐幾里得演算法得到，則方程的每個解可由(x_1+k·\frac{b}{g},y_1-k \frac{a}{g})得到，其中k可為任意整數。
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