線性方程定理
形如ax+by的最小正整數等於gcd(a,b)
我們利用歐幾里得演算法來構造出適當的x與y，換句話說，將描述求方程ax + by= gcd(a,b)整數解x與y的方法。由於每個數ax+by被gcd(a,b)整除，ax + by的最小正整數值恰好是gcd(a,b)
用歐幾里得演算法來解方程ax+by=gcd(a,b)
例如：試解22x+60y=gcd(22,60)
第一步，應用歐幾里得演算法計算最大公因數，我們求得
60 = 2·22 +16 22 = 1·16 +6 16=2·6+4 6=1·4+2 4=2·2+0
這表明gcd(22,60)=2，這是一個無需求助歐幾里得演算法的顯而易見的事實。然而，用歐幾里得演算法計算很重要，因為我們利用中間商和餘數來解方程。首先，將第一個等式改寫成
16=a-2b,其中,a=60,b=22
下面，用這個值替換第二個等式中的16，得
b=1·16+6=1·(a-2b)+6
重新整理這個等式把6移到一邊，得
6=b-(a-2b)=-a+3b
現將值16與6代入下一個等式16=2·6+4
a-2b=16=2·6+4=2(-a+3b)+4
移項得
4=(a-2b)-2(-a+3b)=3a-8b
最後，使用等式6=1·4+2得
-a+3b=6=1·4+2=1·(3a-8b)+2
重排這個等式得所希望的解
-4a+11b=2
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