[每日一題] 第十五題：連續子陣列的最大和

輸入一個整型陣列，陣列裡有正數也有負數。陣列中的一個或連續多個整陣列成一個子陣列。求所有子陣列的和的最大值。

要求時間複雜度為O(n)。

示例1:

輸入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
輸出: 6
解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

提示：

• 1 <= arr.length <= 10^5
• -100 <= arr[i] <= 100

方法一：動態規劃

解題思路：

動態規劃是本題的最優解法，以下按照標準流程解題。

動態規劃解析：

• 狀態定義： 設動態規劃列表 dp，dp[i] 代表以元素 nums[i] 為結尾的連續子樹組最大和。

  • 為何定義最大和 dp[i] 中必須包含元素 nums[i]：保證 dp[i] 遞推到 dp[i+1] 的正確性：如果不包含 nums[i]，遞推時則不滿足題目的 連續子陣列 的要求。

• 轉移方程： 若 dp[i-1]<=0，說明 dp[i-1] 對 dp[i] 產生負貢獻，即 dp[i+1] + nums[i] 還不如 nums[i] 本身大。

  • 當 dp[i-1] > 0 時：執行 dp[i] = dp[i-1] + nums[i]；
  • 當 dp[i-1] <= 0 時：執行 dp[i] = nums[i]；

• 初始狀態： dp[0]=nums[0]，即以 nums[0] 結尾的連續子陣列的最大和為 nums[0]。

• 返回值： 返回 dp 列表中的最大值，代表全域性最大值。

空間複雜度降低：

• 由於 dp[i] 只與 dp[i-1] 和 nums[i] 有關係，因此可以將原陣列 nums 用作 dp 列表，即直接在 nums 上修改即可。
• 由於省去 dp 列表使用的額外空間，因此空間複雜度從 O(N) 降至 O(1)。

複雜度分析

• 時間複雜度： 線性遍歷陣列 nums 即可獲得結果，使用 O(N) 時間。
• 空間複雜度： 使用常數大小的額外空間。

程式碼

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int res = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            nums[i] += Math.max(nums[i - 1], 0);
            res = Math.max(res, nums[i]);
        }
        return res;
    }
}

個人理解

1. 確定動態規劃解題思路： 沒有經驗的話把這道題想成用動態規劃去解決還是很難的，這題能用動態規劃去實現，有一個很重要的一點，確定狀態，想到用 dp[i] 來表示到 nums[i] 的最大值這個很重要。
2. 狀態轉移方程： 因為我們要進行空間優化，所以我們省去了 dp 陣列，而是將原來的 nums 陣列當成 dp 陣列，所以我們應該想到狀態轉移方程為 nums[i] += (nums[i-1] > 0) ? nums[i-1] : 0;。
3. 大小比較： 這個我是第一次使用，Math.max() 方法，裡面要傳入兩個值，所以每次 for 迴圈都要比較。

題解來源

作者：jyd
連結：leetcode-cn.com/problems/lian-xu-z...
來源：力扣（LeetCode）

來源：力扣（LeetCode）
連結：leetcode-cn.com/problems/lian-xu-z...
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