Codeforces 895C Square Subsets：狀壓dp【組合數結論】

題目連結：http://codeforces.com/problemset/problem/895/C

題意：

　　給你n個數a[i]。(n <= 10^5, 1 <= a[i] <= 70)

　　問你有多少非空子集s，使得 ∏(s[i])為完全平方數。

 

題解：

　　由於a[i] <= 70，而70以內的質數只有19個，顯然可以狀壓。

 

　　由於一個數是完全平方數的條件是：它的每種質因子的指數為偶數

　　所以先處理出對於每個a[i]，它的所有質因子指數的奇偶性f[i]。

　　對於f[i]的每一位，0表示它的質因子prime[i]的指數為偶，1代表為奇數。

 

　　另外由於n比較大，所以dp中狀態不能是“當前考慮到a[i]”，而應該是“當前考慮到數字i”。

　　所以之前要統計一下為數字i的a[j]的個數cnt[i]。(x <= 70)

 

　　然後開始狀壓。

　　表示狀態：

　　　　dp[i][state]表示當前考慮到數字i，子集和的質因子指數的奇偶性為state，此時的子集方案數

　　找出答案：

　　　　由於1到70的所有數都會考慮一遍，且最終的子集和的質因子的指數都應該為偶數

　　　　另外由於要求是非空子集，最終答案要-1

　　　　所以ans = dp[71][0] - 1

　　如何轉移：

　　　　對於數字i來說，如果cnt[i] == 0，則直接將所有dp[i][state]複製到dp[i+1][state]即可。

　　　　否則分兩種情況：數字i選偶數個 or 奇數個。選偶數個i不會影響子集和質因子指數的奇偶性，而奇數個會影響。

　　　　（1）偶數個：dp[i+1][state] += dp[i][state] * C(n,m)，其中m = 0,2,4,6,8...

　　　　（2）奇數個：dp[i+1][state^f[i]] += dp[i][state] * C(n,m)，其中m = 1,3,5,7,9...

　　　　有一個結論：∑ C(n,{0,2,4,6,8...}) = ∑ C(n,{1,3,5,7,9...}) = 2^(n-1)

　　　　之前預處理所有p[i] = 2^i % MOD即可。

　　邊界條件：

　　　　dp[1][0] = 1

　　　　others = 0

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 100005
#define MAX_A 75
#define MAX_S 550000
#define MOD 1000000007

using namespace std;

const int prime[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67};

int n;
int p[MAX_N];
int f[MAX_A];
int cnt[MAX_A];
int dp[MAX_A][MAX_S];

void read()
{
    cin>>n;
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    int a;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a;
        cnt[a]++;
    }
}

void cal_f()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=70;i++)
    {
        int t=i;
        for(int j=0;j<19;j++)
        {
            while(t%prime[j]==0)
            {
                f[i]^=(1<<j);
                t/=prime[j];
            }
        }
    }
}

void cal_p()
{
    p[0]=1;
    for(int i=1;i<MAX_N;i++) p[i]=(p[i-1]<<1)%MOD;
}

void cal_dp()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1][0]=1;
    for(int i=1;i<=70;i++)
    {
        if(!cnt[i])
        {
            for(int state=0;state<(1<<19);state++)
            {
                dp[i+1][state]=dp[i][state];
            }
        }
        else
        {
            for(int state=0;state<(1<<19);state++)
            {
                if(dp[i][state])
                {
                    dp[i+1][state]=(dp[i+1][state]+(long long)dp[i][state]*p[cnt[i]-1])%MOD;
                    dp[i+1][state^f[i]]=(dp[i+1][state^f[i]]+(long long)dp[i][state]*p[cnt[i]-1])%MOD;
                }
            }
        }
    }
}

void work()
{
    cal_f();
    cal_p();
    cal_dp();
    cout<<dp[71][0]-1<<endl;
}

int main()
{
    read();
    work();
}