演算法講堂一：博弈論入門

RioTian發表於2020-06-02
演算法

博弈論的題目有如下特點：

  • 1：博弈模型為兩人輪流決策的博弈。並且兩人都使用最優策略來取得勝利。

    • 兩個玩家，都會採取最優的決策，那麼如果存在一個局面為必勝局面，某玩家位於此局面。只要自己無失誤，則必勝。那麼同樣又一個局面為必敗局面，某玩家位於此局面。只要對手無失誤，則必敗。
    • 那也就是說，針對這樣的遊戲，我們關注點應該在局面上。

  • 2：博弈是有限的。即無論兩人如何決策，都會在有限步決出勝負。

  • 3：博弈是公平的。即兩人進行決策的規則相同。

  • 相關概念：
    • 先手必勝狀態：先手可以從這個狀態走到某一個必敗狀態。
    • 先手必敗狀態：先手走不到任何一個必敗狀態。
    • 也就是說先手必勝狀態，那麼先手一定能採取某些操作，讓後手面對必敗態。如果是先手必敗態，無論先手怎麼操作，都無法讓後手面對必敗態。

簡單博弈的基本題型

1：bash博弈；2：nim博弈；3：威佐夫博弈；5：Fibonacci博弈；6：sg函式；

bash博弈 (巴什博奕)

  • 假設一堆石子有n個，每次最多取m個，甲乙兩個玩家輪流取石子，最後把石子取完的人獲勝，保證甲乙每一步的決策都是最優的，請問給定n和m，問甲勝還是乙勝。

    • 不妨假設剛剛開始

      n = m + 1

      ，那麼後手必勝，有如下結論：

      • 令 n = ( m + 1 ) * r + s 其中(r > 1，0 <= s < m + 1)。如果s=0的話，先手每次取k個，後手只要取(m+1-k)個即可，後手必贏。如果s!=0的話，先手者第一次取s個，後手第一次取k個，接下來先手只要取(m + 1 - k)個即可，先手必贏。
      • 所以只需考慮 是否為0就可以判定結果。餘為0，先手必敗，反之必勝。

  • 例題：

    • hdu_2188
    #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c, m, n;//總捐款數，每次最多m
int main() {
    //freopen("in.txt","r",stdin);
	cin >> c;
	while (c--) {
		cin >> n >> m;
		if (n % (m + 1) == 0)
			cout << "Rabbit\n";
		else
			cout << "Grass\n";
	}
	return 0;
}

  • hdu_1846

  • hdu_1847

Nim遊戲

  • 假設有n堆石子，每堆石子分別有\(a_1,a_2,…,a_n個\),每次可以選擇任意一堆且至少取1枚石子, 甲乙兩個玩家輪流取石子, 最後把石子取完的人獲勝, 保證甲乙每一步的決策都是最優的, 甲為先手操作, 問甲勝還是乙勝。

  • 結論:

    • 設若\(a_1^{ ∧ }a_2^{∧}…^{∧}a_n = 0\)則先手必敗, 反之必勝。

  • 證明

  • 當\(a\)不全為\(0\)時, 任意一個\(res!=0\)的局面, 先手可以通過一定的操作讓後手面對\(res=0\)的局面。

  • 對於任意一個\(res=0\)的局面, 先手無法通過任何操作讓後手面對\(res=0\)的局面。

  • 得出結論, 當\(res=0\)時先手必敗, 反之必勝。

Nim博弈擴充-臺階Nim

  • 問題描述: 有一個\(n\)級臺階的樓梯, 每級臺階上有若干個石子, 其中第i級臺階上有\(ai\)個石子\((i≥1)\)。兩位玩家路輪流操作, 每次操作可以從任意一級臺階上拿若干個石子放到下一級臺階上(不能不拿)。

  • 已經拿到地面的石子不能再拿, 最後無法進行操作的人視為失敗。

  • 問如果兩人都採取最優策略, 先手是否必勝.

  • 結論
    • \(res=a_1∧a_3∧a_5∧,…,∧a_n=0\)(當然這裡的n是奇數)先手必敗, 反之先手必勝。
  • 證明

  • 1): 考慮極端情況, 當\(a1,a3,…,an\)全為0時, \(res=0\), 此時先手只能將偶數級臺階往下搬, 後手只需要將先手從偶數級臺階上搬下來的石子全部搬到下一級偶數級臺階, 先手必敗。

  • 2): 當\(res=x≠0\)時, 通過經典\(Nim\)遊戲的證明, 我們知道一定有一種方法搬一定的石子到下一級讓後手面對res為0的局面。

  • 3):當\(res=x=0\)且\(a\)不全為\(0\)時, 我們無法通過任何操作讓下一個狀態的\(res\)也為\(0\)。

  • 即對於\(res\)不為\(0\)的情況, 先手總能通過一定的操作讓後手面對\(res\)為\(0\)的情況,。

  • 然而\(res\)為\(0\)時, 先手無論做什麼操作都無法讓後手面對\(res\)為\(0\)的情況。

  • 那麼此刻我們就將題目轉化為在奇數臺階上的經典Nim遊戲。

  • 思考題:

  • 為什麼不用\(res=a_2∧a_4∧a_6∧,…,∧a_n=0\)(n為偶數)來判定勝負？

    • 因為當先手搬去一定的石子讓後手面對res=0res=0的情況, 後手可以搬去一號臺階的石子到地面讓先手重新面對res=0res=0的情況
例題:
  • hdu_1850(經典Nim)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100 + 10;
int n, a[maxn], res;
int main() {
    //freopen("in.txt","r",stdin);
	while (cin >> n,n)
	{
		res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++){
			cin >> a[i];
			res ^= a[i];
		}
		if (res == 0) puts("0");
		else{
			int ans = 0;
			for (int i = 1; i <= n; i++)
				if ((res ^ a[i]) < a[i]) ans++;
			cout << ans << endl;
		}
	}
	return 0;
}
  • hdu_1730(經典Nim)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	int n, m;
	while (cin >> n >> m) {
		int res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			int a, b; cin >> a >> b;
			res = res ^ (abs(a - b) - 1);
		}
		if (res == 0) puts("BAD LUCK!");
		else puts("I WIN!");
	}
	return 0;
}
  • poj_1704(臺階Nim)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000 + 10;
int a[N];
int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	int t, n;
	cin >> t;
	while (t--) {
		int ans = 0;
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
		sort(a + 1, a + n + 1);
		if (n % 2)
		{
			ans ^= (a[1] - 1);
			for (int i = 3; i <= n; i += 2)
				ans ^= (a[i] - a[i - 1] - 1);
		}
		else for (int i = 2; i <= n; i += 2)
			ans ^= (a[i] - a[i - 1] - 1);
		if (ans) printf("Georgia will win\n");
		else printf("Bob will win\n");
	}
	return 0;
}
  • hdu_4315(臺階Nim)
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 10;
int a[maxn];
int n, k;
int main() {
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    while(cin >> n >> k)
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        if(k == 1) puts("Alice");
        else
        {
            int res = 0;
            if(n & 1)
            {
                if(k == 2) res ^= a[1] - 1;
                else res ^= a[1];
                for(int i = 3; i <= n; i += 2)
                    res ^= a[i] - a[i - 1] - 1;
            }
            else
            {
                for(int i = 2; i <= n; i += 2)
                    res ^= a[i] - a[i - 1] - 1;
            }
            if(res) puts("Alice");
            else puts("Bob");
        }
    }
    return 0;
}

Wythoff 遊戲 (威佐夫博弈)

  • 兩堆石子各有若干個, 兩人輪流從一堆取至少一個石子或從兩堆取同樣多的物品, 最後一名取完石子者勝利。

  • 結論:

    • 當兩堆石子各有\(n\)和\(m\)個且不妨設\(n<m\)。
    • 當(m−n)(√5+1)/2=n時, 先手必敗。
  • 證明

  • •首先考慮最(zhao)極(gui)端(lv)的情況, (0, 0), (1, 2), (3, 5)局面為先手必敗局面。而且這樣的數字對被稱為奇異局勢。

  • 奇異局勢的定義如下：

    • 設數字對為\(a[(i),b(i)]\)
    • 1:\(a(0)=b(0)=0\);
    • 2: \(a(k)\)是前面數字對中未出現的最小的自然數, 且\(a(k)+k=b(k)\)。

  • 接下來我們看奇異局勢的幾個性質:

    • 性質1: 任何自然數都包含在一個且僅有一個奇異局勢中。

    • 性質2: 任意操作都能將奇異局勢轉變為非奇異局勢.

    • 性質3: 採取適當的方法, 可將非奇異局勢轉變為奇異局勢。

      證明略

  • 結論：奇異局勢必敗

image-20200602181238254

例題
  • hdu_2177
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int n, m;
    
bool check(int n, int m) {
    int x = min(n, m), y = max(n, m);
    double c = (sqrt(5.00000) + 1) / 2;
    double d = (double)(y - x);
    if(x == int(c*d)) return 1; // 必敗     return 0;
}
    
void work() {
    if(n > m) swap(n, m); // (n, m)     //第一個模組 我們能一起減去讓他成為必敗態     {
        int tem = m - n;
        double c = (sqrt(5.00000) + 1) / 2;
        int a = double(tem) * c;
        int b = a + tem;
        if(n - a == m - b) cout << a << " " << b << endl;
    }
    //第二個模組 我們求出當前n的奇異局勢, 如果m比他大 拿走就行     //如果m比他小我們求出(x, n) 然後拿走m     {
        double c = (sqrt(5.00000) + 1) / 2;
        int x = n;
        double d = x / c;
        int y = n + d;
        if(m > y) cout << x << " " << y << endl;
        else
        {
            double x = double(n) * 2 / (sqrt(5.000000) + 1);
            cout << int(x) << " " << n << endl;
        }
    }
}
    
int main() {
    while(cin >> n >> m)
    {
        if(!(n + m)) break;
        if(check(n, m)) puts("0");
        else
        {
            puts("1");
            work();
        }
    }
    return 0;
}

斐波那契博弈(Fibonacci Nim Game)

  • 一堆石子有nn個,兩人輪流取.先取者第1次可以取任意多個，但不能全部取完。以後每次取的石子數不能超過上次取子數的22倍。取完者勝。給定nn,問先手必勝還是必敗。

  • 結論：
    • 當\(n\)為\(fibonacci\)數的時候,先手必敗
  • 證明：

    image-20200602181406884

例題：

  • hdu_2516
#include<bits/stdc++.h> using namespace std;
typedef long long ll;
unordered_map<int, int> mp;
ll f[50];
void fib() {
    f[0] = f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 50; i++)
    {
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        mp[f[i]]++;
    }
}
    
int main() {
    int n;fib();
    while(cin >> n)
    {
        if(n == 0)break;
        if(!mp[n]) puts("First win");
        else puts("Second win"); //如果是fibonacci數, 則先手必敗
    return 0;
}

SG函式

  • \(mex\)運算:
    • 定義\(mex(S)\)為不屬於集合S的最小非負整數運算。
    • •舉個例子: \(S=1,2,3,mex(s)=0\);
  • SG函式:
    • •\(SG\)函式: 設對於每個節點x, 設從x出發有k條有向邊分別到達節點\(y1,y2,…,yk\), 定義SG(x)函式為後繼節點\(y1,y2,…,yk\)的SG函式值構成的集合再執行mex運算的結果。
    • 特別的, 整個有向圖GG的SGSG函式被定義為有向圖起點s的SG函式值, 即\(SG(G)=SG(s)\)
    • 有向圖終點的SG函式為0。
  • 結論:
    • •先手必敗, 則該局面對應\(SG函式=0\)。反之必勝。

image-20200602181643948

例題
  • hdu_1524
#include<bits/stdc++.h> using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 10;
int n, num;
int sg[maxn];
    
int head[maxn], ver[maxn], nex[maxn], tot;
void add(int x, int y) {
    ver[++tot] = y; nex[tot] = head[x]; head[x] = tot;
}
    
int GetSg(int x) {
    if(sg[x] != -1) return sg[x];
    bool vis[maxn];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i = head[x]; i; i = nex[i]) // 掃描所有出邊     {
        int y = ver[i];
        sg[y] = GetSg(y);
        vis[sg[y]] = 1; //所有出邊的sg函式值     }
    for(int i = 0; i < n; i++)
        if(!vis[i]) return sg[x] = i; // mex運算     return 0;
}
    
void init() {
    memset(head, 0, sizeof(head));
    memset(nex, 0, sizeof nex);
    memset(ver, 0, sizeof ver);
    memset(sg, -1, sizeof sg);
    tot = 0;
}
    
int main() {
    while(cin >> n)
    {
        init();
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            cin >> num;
            while(num--)
            {
                int x; scanf("%d", &x);
                add(i, x);
            }
        }
        while(cin >> num)
        {
            if(!num) break;
            int res = 0;
            while(num--)
            {
                int x; scanf("%d", &x);
                res ^= GetSg(x);
            }
            if(res) puts("WIN");
            else puts("LOSE");
        }
    }
    return 0;
}
  • hdu_1536
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e4 + 10;
int s[maxn], sg[maxn];
int k;
    
void init() {
    memset(sg, -1, sizeof(sg));
}
    
int GetSg(int x) {
    if(sg[x] != -1) return sg[x];
    bool vis[maxn]; memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i = 1; i <= k; i++)
        if(x >= s[i])
        {
            sg[x - s[i]] = GetSg(x - s[i]);
            vis[sg[x - s[i]]] = 1;
        }
    for(int i = 0; ; i++)
        if(!vis[i]) return sg[x] = i;
    return 0;
    
}
    
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin >> k)
    {
        init();
        if(k == 0) break;
        for(int i = 1; i <= k; i++) cin >> s[i];
        int num; cin >> num;
        while(num--)
        {
            int x, res = 0; cin >> x;
            for(int i = 1; i <= x; i++)
            {
                int y; cin >> y;
                res ^= GetSg(y);
            }
            if(res) cout << "W";
            else cout << "L";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

參考

【博弈論】關於三姬分金(五海盜分贓)的博弈論問題分析

李永樂老師對三姬分金視訊講解

ACM集訓隊講解

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