XGBoost入門系列第一講

寬邦科技發表於2019-01-24

Boosted Trees 介紹

XGBoost 是 “Extreme Gradient Boosting”的簡稱，其中“Gradient Boosting”來源於附錄1.Friedman的這篇論文。本文基於 gradient boosted tree ，中文可以叫梯度提升決策樹，下面簡稱GBDT，同時也有簡稱GBRT，GBM。針對gradient boosted tree的細節也可以參考附錄2.這篇網頁，感興趣的朋友可以前往BigQuant進一步學習實踐。

監督學習

XGBoost 主要是用來解決有監督學習問題，此類問題利用包含多個特徵的訓練資料 xixi，來預測目標變數 yiyi。在我們深入探討GBDT前，我們先來簡單回顧一下監督學習的一些基本概念。

模型與引數

在監督學習中模型（model）表示一種數學函式，通過給定 xi 來對 yi 進行預測。以最常見的線性模型（linear model）舉例來說，模型可以表述為 yi^=∑jθjxij，這是一個輸入特性進行線性加權的函式。那麼針對預測值的不同，可以分為迴歸或者分類兩種。
在監督學習中引數（parameters）是待定的部分，我們需要從資料中進行學習得到。在線性迴歸問題中，引數用θ來表示。

目標函式：訓練誤差 + 正則化

根據對 yi的不同理解，我們可以把問題分為，迴歸、分類、排序等。我們需要針對訓練資料，嘗試找到最好的引數。為此，我們需要定義所謂的目標函式，此函式用來度量引數的效果。
這裡需要強調的是，目標函式必須包含兩個部分：訓練誤差和正則化。

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其中，L表示訓練誤差函式，Ω表示正則項。訓練誤差用來衡量模型在訓練資料上的預測能力。比較典型的有用均方差來衡量。

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另外針對邏輯迴歸，比較常見的損失函式為Logistic函式：

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另外一個比較重要的部分就是正則項，這也是很多人容易忘記的部分。正則項是用來控制模型的複雜度，以防止過擬合（overfitting）。這聽起來有點抽象，那麼我們用下面的例子來說明。針對下面左上角的這幅圖，我們需要找到一個階梯函式來擬合圖中的資料點集合。那麼問題來了，下面剩下的三幅圖中，哪一個你認為是最好的呢？

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答案是用紅色標註出來的這幅圖。為什麼呢？因為我們對於好的模型的判斷依據是 簡單（simple）並且 準確（predictive）。但這兩者又是相互矛盾的，在機器學習中我們也把這兩者也用 bias-variance 來表述。

複合樹模型（Tree Ensemble）

在前面我們已經介紹了監督學習，現在讓我們開始瞭解樹模型。首先先來了解一下xgboost所對應的模型：複合樹模型。複合樹模型是一組分類和迴歸樹（classification and regression trees - CART）。這裡我們舉CART中的一個例子，一類分類器用來辨別某人是否喜歡計算機遊戲。

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我們把家庭中的成員分到了不同的葉子節點，同時每個葉子節點上都有一個分數。CART與決策樹相比，細微差別在於CART的葉子節點僅包含判斷分數。在CART中，相比較於分類結果，每個葉子節點的分數給我們以更多的解釋。這讓CART統一優化節點更為容易，這在後面會有具體介紹。

通常情況下，在實踐中往往一棵樹是不夠用的。這個時候往往需要把多棵樹的預測結果綜合起來，這就是所謂的複合樹模型。

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上面就是由兩棵樹組成的複合樹的例子。每棵樹上的分數簡單相加就得到了最終的分數。用數學式子可以表達如下：

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KK表示樹的數目，ff是函式空間FF中的一個函式，FF表示CART的所有可能集合。所以我們的優化目標可以寫作：

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現在問題來了，隨機森林對應的模型是什麼呢？對了，也是複合樹模型。所以在模型的表述上，隨機森林和提升樹是一樣的，他們倆的區別只是在於如何訓練。這也就意味著，如果要寫一個關於複合樹模型的預測服務，我們只需要寫一個就可以同時支援隨機森林和提升樹。

提升樹 （Tree Boosting）

介紹了模型之後，讓我們看看訓練部分。那麼我們是怎麼訓練這些樹的呢？對於所有的監督學習模型，答案也都是同樣，只需要做兩件事，定義目標函式，然後優化它。
假設我們有如下的目標函式（需要切記目標函式必須包含損失函式及正則項）

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增量訓練 （Additive Training）

首先我們需要問的是，這些樹的引數是什麼？我們會發現，我們所要學習的就是這些 fifi方法，每個方法中定義樹的結構以及葉子節點的分數。這比傳統最優化問題要更難，傳統最優化問題我們可以通過梯度來解決。而且我們無法在一次訓練所有的樹。相反，我們用增量（additive）的方式：每一步我們都是在前一步的基礎上增加一棵樹，而新增的這棵樹是為修復上一顆樹的不足。，我們把每tt步的預測用yi^(t)yi^(t)表示，這樣我們就有了：

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這裡還有疑問的是，在每一步中如何確定哪棵樹是我們需要的呢？一個很自然的想法就是，增加這棵樹有助於我們的目標函式。

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我們用MSE（均方差）作為損失函式，這樣式子就變成了：

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對於用MSE求出來的損失函式式子比較友好，包含一個一階項和一個二次項。但是對於其他形式，就很難推匯出這麼友好的損失函式式子了。那麼針對這種情形，我們就用泰勒展開公式（參考附錄4，x取值yi^(t−1)+ft(xi)，a取值yi^(t−1)）來逼近：

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其中 gi 和 hi 定義如下：

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然後針對上述式子，我們刪除常數項，那麼在 tt 目標函式就變成：

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選擇新的一棵樹，上述式子就是優化目標。這樣的優化目標有一個優點，式子只需要考慮gi和hi。這就是xgboost為什麼能支援自定義損失函式的原因。我們能夠優化每一個損失函式，包括邏輯迴歸和加權邏輯迴歸，只需要把對應的gi和hi作為輸入傳入即可。

模型複雜度

現在講講正則化。那麼如何定義 Ω(f)呢，在此之前，我們需要定義 f(x)：

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這裡ww表示葉子節點上的分數所組成的向量，qq表示每個資料對映到相應葉子節點的對應關係函式，TT表示葉子節點的數量。在XGBoost中，我們用如下公式定義複雜度：

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當然還有其他公式來定義複雜度，但是我們發現上述式子在實踐過程中表現很好。其他樹相關的演算法包不怎麼認真對待正則化，甚至直接忽視掉。

如何計算樹葉子節點上的分數

那麼在增量學習過程中，如何選擇這棵新增的樹呢？要解決這個問題，我們先解決一下其中這個子問題：假設這棵樹的結構已經確定了，如何來計算葉子節點上的分數？
這一部分是推廣過程中比較神奇的一個步驟。根據上述過程，我們寫出第tt步樹的目標值：

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這裡 Ij=i|q(xi)=j表示每個對映到第j個葉子節點對應的資料樣本。需要注意的是，因為對映到相同葉子節點上的資料樣本他們的分數是相同的，所以在第二行我們改變了一下求和∑順序。同時我們令 Gj=∑i∈Ijgi 以及 Hj=∑i∈Ijhi，那麼上述公式簡化為：

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在上述式子中，每一個wj是相互獨立的，那麼針對一元二次方程 Gjwj+1/2(Hj+λ)w2j 而言，可以比較容易求出當新增的這棵樹的結構 q(x) 已知的情況下，目標函式最小值下的 wj：

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最後的式子計算的是樹 q(x) 的優劣：

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如果上面的式子看著比較複雜的話，那麼根據上面的這幅圖來看如何計算這些分數，就會顯得更直觀些。一旦樹的結構已知的話，我們只需要通過計算每個節點上的 gigi 和 hihi ，然後把各個葉子節點上的這些數值加起來，用上述方程式就可以計算這棵樹的優劣了。

如何學習樹的結構

現在我們已經知道一旦樹的結構固定下來以後，如何來計算葉子節點上的分數，以及計算這棵樹的優劣。那麼關於現在我們要來解決如何來學習這棵樹的結構。比較簡單粗暴的方法就是遍歷所有可能的樹結構，然後從中找到最好的那棵樹。但是這也是不切實際的，因為需要遍歷的情況實在是太多了。所以我們來尋求一種貪婪的解法，就是在樹的每個層構建的過程中，來優化目標。那麼這裡假設在某一層的構建過程中，假設特徵已經選定，我們先如何進行二叉劃分呢，以及是不是需要進行劃分？我們可以通過下面的式子來計算劃分之後，在目標上所獲得的收益（這個收益越越好，負數表示收益為負）：

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上面的這個式子可以分解為 1) 若是劃分，劃分後左邊節點的收益 2) 或是劃分，劃分後右邊節點的收益 3) 如不劃分，原先節點的收益 4) 劃分後正則項的收益。通過上述式子比較容易看到，當劃分後葉子節點所帶來的新增收益小於 γγ ，我們最好還是不要進行二叉劃分，保留原樣是最好的。這也是日後做剪枝的依據。

那麼針對排序後的特徵，我們所要做的就是遍歷各種劃分，找到一個最好的劃分點，如下圖表示。

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那麼這裡還有一個問題就是在構建樹的結構過程中，在某一層如何進行特徵選擇呢？這裡提供了一種比較簡單的方式就是遍歷每一種特徵，然後根據上述式子的Gain，找到最大的Gain值對應的特徵。

關於XGBoost的最後幾句話

我們花了很長時間來講解 Boosted Tree，那麼XGBoost相較於Boosted Tree，又做了哪些額外的事情呢？XGBoost是遵循上述Boosted Tree思想的工程實現，但同時又考慮兼顧系統優化和機器學習原理，最大化的保證可擴充套件性、便捷性以及準確性。

附錄：

  1. 《Greedy Function Approximation: A Gradient Boosting Machine》 
  2. http://www.csuldw.com/2015/08/19/2015-08-19%20GBDT/ 
  3. https://xgboost.readthedocs.io/en/latest/model.html 
  4. https://zh.wikipedia.org/wiki/泰勒公式 
  5. http://homes.cs.washington.edu/~tqchen/pdf/BoostedTree.pdf 

原文連結：《 XGBoost 入門系列第一講 》

本文由BigQuant人工智慧量化投資平臺原創推出，版權歸BigQuant所有，轉載請註明出處。 

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