1948年，美國數學家克勞德·夏農發表論文《通訊的數學理論》（A Mathematical Theory of Communication），奠定了資訊理論的基礎。
今天，資訊理論在訊號處理、資料壓縮、自然語言等許多領域，起著關鍵作用。雖然，它的數學形式很複雜，但是核心思想非常簡單，只需要中學數學就能理解。
本文使用一個最簡單的例子，幫助大家理解資訊理論。
一、詞彙的編碼
小張是我的好朋友，最近去了美國。
我們保持著郵件聯絡。小張寫信的時候，只使用4個詞彙：狗，貓，魚，鳥。
信的所有內容就是這4個詞的組合。第一封信寫著"狗貓魚鳥"，第二封信寫"魚貓鳥狗"。
信件需要二進位制編碼，在網際網路傳遞。兩個二進位制位就可以表示四個詞彙。
- 狗 00
- 貓 01
- 魚 10
- 鳥 11
所以，第一封信"狗貓魚鳥"的編碼是00011011，第二封信"魚貓鳥狗"的編碼是10011100。
二、詞彙的分佈
最近，小張開始養狗，信裡提到狗的次數，多於其他詞彙。假定機率分佈如下。
- 狗：50%
- 貓：25%
- 魚：12.5%
- 鳥：12.5%
小張的最新一封信是這樣的。
狗狗狗狗貓貓魚鳥
上面這封信，用前一節的方法進行編碼。
0000000001011011
一共需要16個二進位制。網際網路的流量費很貴，有沒有可能找到一種更短編碼方式？
很容易想到，"狗"的出現次數最多，給它分配更短的編碼，就能減少總的長度。請看下面的編碼方式。
- 狗 0
- 貓 10
- 魚 110
- 鳥 111
使用新的編碼方式，小張的信"狗狗狗狗貓貓魚鳥"編碼如下。
00001010110111
這時只需要14個二進位制位，相當於把原來的編碼壓縮了12.5%。
根據新的編碼，每個詞只需要1.75個二進位制位（14 / 8）。可以證明，這是最短的編碼方式，不可能找到更短的編碼，詳見後文。
三、編碼方式的唯一性
前一節的編碼方式，狗的編碼是0，這裡的問題是，可以把這個編碼改成1嗎，即下面的編碼可行嗎？
- 狗 1
- 貓 10
- 魚 110
- 鳥 111
回答是否定的。如果狗的編碼是1，會造成無法解碼，即解碼結果不唯一。110有可能是"狗貓"，也可能是"魚"。只有"狗"為0，才不會造成歧義。
下面是數學證明。一個二進位制位有兩種可能0和1，如果某個事件有多於兩種的結果（比如本例是四種可能），就只能讓0或1其中一個擁有特殊含義，另一個必須空出來，保證能夠唯一解碼。比如，0表示狗，1就必須空出來，不能有特殊含義。
同理，兩個二進位制位可以表示四種可能：00、01、10和11。上例中，0開頭的編碼不能用了，只剩下10和11可用，用10表示貓，為了表示"魚"和"鳥"，必須將11空出來，使用三個二進位制位表示。
這就是，上一節的編碼方式是如何產生的。
四、編碼與機率的關係
根據前面的討論，可以得到一個結論：機率越大，所需要的二進位制位越少。
- 狗的機率是50%，表示每兩個詞彙裡面，就有一個是狗，因此單獨分配給它1個二進位制位。
- 貓的機率是25%，分配給它兩個二進位制位。
- 魚和鳥的機率是12.5%，分配給它們三個二進位制位。
夏農給出了一個數學公式。L表示所需要的二進位制位，p(x)表示發生的機率，它們的關係如下。
透過上面的公式，可以計算出某種機率的結果所需要的二進位制位。舉例來說，"魚"的機率是0.125，它的倒數為8， 以 2 為底的對數就是3，表示需要3個二進位制位。
知道了每種機率對應的編碼長度，就可以計算出一種機率分佈的平均編碼長度。
上面公式的H，就是該種機率分佈的平均編碼長度。理論上，這也是最優編碼長度，不可能獲得比它更短的編碼了。
接著上面的例子，看看這個公式怎麼用。小張養狗之前，"狗貓魚鳥"是均勻分佈，每個詞平均需要2個二進位制位。
H = 0.25 x 2 + 0.25 x 2 + 0.25 x 2 + 0.25 x 2
= 2
養狗之後，"狗貓魚鳥"不是均勻分佈，每個詞平均需要1.75個二進位制位。
H = 0.5 x 1 + 0.25 x 2 + 0.125 x 3 + 0.125 x 3
= 1.75
既然每個詞是 1.75 個二進位制位，"狗狗狗狗貓貓魚鳥"這8個詞的句子，總共需要14個二進位制位（8 x 1.75）。
五、資訊與壓縮
很顯然，不均勻分佈時，某個詞出現的機率越高，編碼長度就會越短。
從資訊的角度看，如果資訊內容存在大量冗餘，重複內容越多，可以壓縮的餘地就越大。日常生活的經驗也是如此，一篇文章翻來覆去都是講同樣的內容，摘要就會很短。反倒是，每句話意思都不一樣的文章，很難提煉出摘要。
圖片也是如此，單調的圖片有好的壓縮效果，細節豐富的圖片很難壓縮。
由於資訊量的多少與機率分佈相關，所以在資訊理論裡面，資訊被定義成不確定性的相關概念：機率分佈越分散，不確定性越高，資訊量越大；反之，資訊量越小。
六、資訊熵
前面公式裡的H（平均編碼長度），其實就是資訊量的度量。H越大，表示需要的二進位制位越多，即可能發生的結果越多，不確定性越高。
比如，H為1，表示只需要一個二進位制位，就能表示所有可能性，那就只可能有兩種結果。如果H為6，六個二進位制位表示有64種可能性，不確定性大大提高。
資訊理論借鑑了物理學，將H稱為"資訊熵"（information entropy）。在物理學裡，熵表示無序，越無序的狀態，熵越高。
七、資訊量的例項
最後，來看一個例子。如果一個人的詞彙量為10萬，意味著每個詞有10萬種可能，均勻分佈時，每個詞需要 16.61 個二進位制位。
log₂(100, 000) = 16.61
所以，一篇1000個詞的文章，需要 1.6 萬個二進位制位（約為 2KB）。
16.61 x 1000 = 16,610
相比之下，一張 480 x 640、16級灰度的圖片，需要123萬個二進位制位（約為 150KB）。
480 x 640 x log₂(16) = 1,228,800
所以，一幅圖片所能傳遞的資訊遠遠超過文字，這就是"一圖勝千言"吧。
上面的例子是均勻分佈的情況，現實生活中，一般都是不均勻分佈，因此文章或圖片的實際檔案大小都是可以大大壓縮的。
八、參考連結
- Visual Information Theory, by Christopher Olah
- Information Theory (PDF), Roni Rosenfeld
（完）