主要思想
分治演算法，即分而治之：把一個複雜問題分成兩個或更多的相同或相似子問題，直到最後子問題可以簡單地直接求解，最後將子問題的解合併為原問題的解。
歸併排序就是一個典型的分治演算法。
三步走
和把大象塞進冰箱一樣，分治演算法只要遵循三個步驟即可：分解 -> 解決 -> 合併。
- 分解：分解原問題為結構相同的子問題（即尋找子問題）
- 解決：當分解到容易求解的邊界後，進行遞迴求解
- 合併：將子問題的解合併成原問題的解
這麼一說似乎還是有點抽象？那我們通過經典的排序演算法歸併排序來體驗一下分治演算法的核心思想。
歸併排序
思想
歸併排序的思想是：欲使序列有序，必先使其子序列有序。即先使得每個子序列有序，然後再將子序列合併成有序的列表。
因此，在歸併排序中的子問題就是：使子序列有序。
三步走
既然已經找到了問題的子問題，是時候套用我們上述的三步走方法了。歸併排序的「三步走」如下：
- 分解：將序列劃分為兩部分
- 解決：遞迴地分別對兩個子序列進行歸併排序
- 合併：合併排序後的兩個子序列
舉例
來看一個具體的例子。
現在有一個待排序的序列：
10, 4, 6, 3, 8, 2, 5, 7
先對序列進行分解，把該序列一分為二，直到無法拆分為止。整個拆分過程如下：
然後對分解出的序列進行兩兩排序與合併：
10, 4 排序合併後：4, 10 6, 3 排序合併後：3, 6 8, 2 排序合併後：2, 8 5, 7 排序合併後：5, 7 ……
整個歸併排序完整過程如下：
實現
def merge_sort(lst):
# 從遞迴中返回長度為1的序列
if len(lst) <= 1:
return lst
middle = len(lst) / 2
# 1.分解：通過不斷遞迴，將原始序列拆分成 n 個小序列
left = merge_sort(lst[:middle])
right = merge_sort(lst[middle:])
# 進行排序與合併
return merge(left, right)
def merge(left, right):
i, j = 0, 0
result = []
# 2.解決：比較傳入的兩個子序列，對兩個子序列進行排序
while i < len(left) and j < len(right):
if left[i] <= right[j]:
result.append(left[i])
i += 1
else:
result.append(right[j])
j += 1
# 3.合併：將排好序的子序列合併
result.extend(left[i:])
result.extend(right[j:])
return result
複製程式碼真題演練
為運算表示式設計優先順序
LeetCode 241. 為運算表示式設計優先順序: leetcode-cn.com/problems/di…
題目描述
給定一個含有數字和運算子的字串，為表示式新增括號，改變其運算優先順序以求出不同的結果。你需要給出所有可能的組合的結果。有效的運算子號包含 + , - 以及 *。
示例 1:
輸入: "2-1-1"
輸出: [0, 2]
解釋:
((2-1)-1) = 0
(2-(1-1)) = 2
複製程式碼示例 2:
輸入: "2*3-4*5"
輸出: [-34, -14, -10, -10, 10]
解釋:
(2*(3-(4*5))) = -34
((2*3)-(4*5)) = -14
((2*(3-4))*5) = -10
(2*((3-4)*5)) = -10
(((2*3)-4)*5) = 10
複製程式碼思路
對於一個形如 x op y（op 為運算子，x 和 y 為數） 的算式而言，它的結果組合取決於 x 和 y 的結果組合數，而 x 和 y 又可以寫成形如 x op y 的算式。
因此，該問題的子問題就是 x op y 中的 x 和 y：以運算子分隔的左右兩側算式解。
然後我們來進行分治演算法三步走：
- 分解：按運算子分成左右兩部分，分別求解
- 解決：實現一個遞迴函式，輸入算式，返回算式解
- 合併：根據運算子合並左右兩部分的解，得出最終解
實現
class Solution:
def diffWaysToCompute(self, input: str) -> List[int]:
# 如果只有數字，直接返回
if input.isdigit():
return [int(input)]
res = []
for i, char in enumerate(input):
if char in ['+', '-', '*']:
# 1.分解：遇到運算子，計算左右兩側的結果集
# 2.解決：diffWaysToCompute 遞迴函式求出子問題的解
left = self.diffWaysToCompute(input[:i])
right = self.diffWaysToCompute(input[i+1:])
# 3.合併：根據運算子合並子問題的解
for l in left:
for r in right:
if char == '+':
res.append(l + r)
elif char == '-':
res.append(l - r)
else:
res.append(l * r)
return res
複製程式碼總結
分治演算法的核心是尋找子問題的解，解題步驟遵循「三步走」：
- 找到子問題並分解
- 解決子問題（遞迴）
- 合併子問題的解
這裡為大家準備了兩道練手題，大家趕緊試試手吧：
- LeetCode 932. 漂亮陣列: leetcode-cn.com/problems/be…
- LeetCode 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹: leetcode-cn.com/problems/co…
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參考資料
- OI Wiki: 遞迴 - 分治：oi-wiki.org/basic/divid…
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