二叉排序樹

Diy_os發表於2016-02-13
排序

二叉查詢樹（英語：Binary Search Tree），也稱二叉搜尋樹、有序二叉樹（英語：ordered binary tree），排序二叉樹（英語：sorted binary tree），是指一棵空樹或者具有下列性質的二叉樹： 


  • 任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；  
  • 若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；
  • 任意節點的左、右子樹也分別為二叉查詢樹；
  • 沒有鍵值相等的節點。


從上述定義可知，二叉排序樹是記錄之間滿足一定次序關係的二叉樹。下面介紹如何構建一棵二叉排序樹，以及遍歷，插入，查詢，也會簡單的介紹刪除結點操作。

構造一棵排序二叉樹，則一定要根據其定義來實現。下面給出相關程式碼：

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  1. #include<iostream>  
  2. using namespace std;  
  3. typedef struct bstNote {  
  4.     int data;  
  5.     struct bstNote *lchild, *rchild;  
  6. }*bstTree;  
  7.   
  8. void insertNote(bstTree &bst, int _data) {  
  9.     if (bst == NULL) {  
  10.         bst = new bstNote;  
  11.         bst->data = _data;  
  12.         bst->lchild = bst->rchild = NULL;  
  13.         return;  
  14.     }  
  15.     if (bst->data == _data) {  
  16.         exit(-1);  
  17.     }  
  18.       
  19.     else if(bst->data > _data)   
  20.         insertNote(bst->lchild, _data);  
  21.       
  22.       else  
  23.           insertNote(bst->rchild, _data);  
  24. }  
  25. void createBST(bstTree  &bst,int *arry,int length){  
  26.     bst = NULL;  
  27.   
  28.     for (int i = 0; i < length; i++) {  
  29.         insertNote(bst, arry[i]);  
  30.     }  
  31. }  
  32. void preOrder(bstTree bst) {  
  33. if (bst == NULL) {  
  34.         return;  
  35.     }  
  36.   
  37.         cout << bst->data << " ";  
  38.         preOrder(bst->lchild);  
  39.         preOrder(bst->rchild);  
  40.       
  41. }  
  42. void inOrder(bstTree bst) {  
  43.     if (bst == NULL) {  
  44.         return;  
  45.     }  
  46.     inOrder(bst->lchild);  
  47.     cout << bst->data << " ";  
  48.     inOrder(bst->rchild);  
  49. }  
  50. void postOrder(bstTree bst) {  
  51.     if (bst == NULL) {  
  52.         return;  
  53.     }  
  54.     postOrder(bst->lchild);  
  55.     postOrder(bst->rchild);  
  56.     cout << bst->data << " ";  
  57. }  
  58. bstTree searchBST(bstTree bst, int key) {  
  59.     if (bst == NULL)  
  60.         return false;  
  61.     else if (bst->data == key) {  
  62.         cout << "查詢成功:"<<bst->data<< endl;  
  63.         return bst;  
  64.     }  
  65.     else if(bst->data>key)  
  66.         return searchBST(bst->lchild, key);   
  67.     else  
  68.         return searchBST(bst->rchild, key);  
  69. }  
  70. int main(){  
  71.     bstTree bst;  
  72.     int arry[] = {4,5,2,1,3,10,7,8,6,0};  
  73.     int length = sizeof(arry) / sizeof(int);  
  74.     createBST(bst, arry, length);  
  75.     cout << "PreOrder:" << endl;;  
  76.     preOrder(bst);  
  77.     cout << endl;  
  78.     cout << "InOrder:" << endl;  
  79.     inOrder(bst);  
  80.     cout << endl;  
  81.     cout << "PostOrder:" << endl;;  
  82.     postOrder(bst);  
  83.     cout << endl;  
  84.     searchBST(bst,6);   
  85.     insertNote(bst, 9);  
  86.     preOrder(bst);  
  87.     cout << endl;  
  88.     inOrder(bst);  
  89. }  
上面的程式碼比較簡單的實現構造，遍歷，查詢。
但是在二叉查詢樹刪去一個結點，分三種情況討論：（如下參考維基百科：)
1.若*p結點為葉子結點，即PL（左子樹）和PR（右子樹）均為空樹。由於刪去葉子結點不破壞整棵樹的結構，則只需修改其雙親結點的指標即可。
2.若*p結點只有左子樹PL或右子樹PR，此時只要令PL或PR直接成為其雙親結點*f的左子樹（當*p是左子樹）或右子樹（當*p是右子樹）即可，作此修改也不破壞二叉查詢樹的特性。

3.若*p結點的左子樹和右子樹均不空。在刪去*p之後，為保持其它元素之間的相對位置不變，可按中序遍歷保持有序進行調整，可以有兩種做法：其一是令*p的左子樹為*f的左/右（依*p是*f的左子樹還是右子樹而定）子樹，*s為*p左子樹的最右下的結點，而*p的右子樹為*s的右子樹；其二是令*p的直接前驅（in-order predecessor）或直接後繼（in-order successor）替代*p，然後再從二叉查詢樹中刪去它的直接前驅（或直接後繼），該種情況較為複雜，如下圖示。


演算法：

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  1. Status DeleteBST(BiTree &T, KeyType key){  
  2.   //若二叉查詢樹T中存在關鍵字等於key的資料元素時，則刪除該資料元素，並返回  
  3.   //TRUE；否則返回FALSE  
  4.   if(!T)   
  5.     return false;   //不存在關鍵字等於key的資料元素  
  6.   else{  
  7.     if(key == T->data.key) {     //  找到關鍵字等於key的資料元素  
  8.       return Delete(T);  
  9.     }  
  10.     else if(key < T->data.key)  
  11.       return DeleteBST(T->lchild, key);  
  12.     else  
  13.       return DeleteBST(T->rchild, key);  
  14.   }  
  15. }  
  16. Status Delete(BiTree &p){  
  17.   //該節點為葉子節點，直接刪除  
  18.   BiTree *q, *s;  
  19.   if (!p->rchild && !p->lchild)  
  20.   {  
  21.       delete p;  
  22.       p = NULL;  
  23.   }  
  24.   else if(!p->rchild){   //右子樹空則只需重接它的左子樹  
  25.     q=p->lchild;  
  26.     p->data = p->lchild->data;  
  27.     p->lchild=p->lchild->lchild;  
  28.     p->rchild=p->lchild->rchild;  
  29.   
  30.     delete q;  
  31.   }  
  32.   else if(!p->lchild){   //左子樹空只需重接它的右子樹  
  33.     q=p->rchild;  
  34.     p->data = p->rchild->data;  
  35.     p->lchild=p->rchild->lchild;  
  36.     p->rchild=p->rchild->rchild;  
  37.   
  38.     delete q;  }  
  39.   else{ //左右子樹均不空  
  40.     q=p;   
  41.     s=p->lchild;  
  42.     while(s->rchild){   
  43.       q=s;   
  44.       s=s->rchild;  
  45.     }   //轉左，然後向右到盡頭  
  46.     p->data = s->data;    //s指向被刪結點的“前驅”  
  47.     if(q!=p)      
  48.       q->rchild = s->lchild;  //重接*q的右子樹  
  49.     else   
  50.       q->lchild = s->lchild;  //重接*q的左子樹  
  51.     delete s;  
  52.   }  
  53.   return true;  
  54. }  

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