序列生成；及合併總數分析

今日面試題：序列生成

給定一個表示式2^i*2^j，其中i，j為非負整數。請找到一種方法，生成如下序列：

2^0 * 5^0 = 1
2^1 * 5^0 = 2
2^2 * 5^0 = 4
2^0 * 5^1 = 5
2^3 * 5^0 = 8
2^1 * 5^1 = 10
2^4 * 5^0 = 16
2^2 * 5^1 = 20
2^0 * 5^2 = 25
...
...
...

請大家開動腦筋，找到更多的方法。

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合併總數分析

原題

求正數陣列內和為指定數字的合併總數

比如[5, 5, 10, 2, 3] 合併值為 15 : 有4種 ： (5 + 10, 5 + 10, 5 + 5 + 2 + 3, 10 + 2 + 3)

分析

有的時候，一個題目不能夠立刻想到比較優化的想法，就可以先找到一個解決方案，然後根據方案的不足進行優化。而且這個時候，逆轉一下思路，便會柳暗花明。由遞迴到動態規劃，不就是如此麼？

我們設定f(index，sum)表示陣列從index開始到結束組成的sum的總數。那麼，f(index, sum)可以表示為什麼呢？ 我們這個題目，就是要最終求得f(0, 15)，從頭開始分析，最終組成的和為15的可能組合中，可能包含第0個元素，也可能不包含, 原始陣列為A：

• 當包含第0個元素時，剩下的表示為f(1, 15-A[0])
• 不包含第0個元素時，剩下的表示為f(1, 15)

則，f(0, 15) = f(1, 15) + f(1, 15 - A[0])。依次遞迴。遞迴的終止條件是什麼呢？對於f(index,sum):

• 當和小於等於0的時候，f(index,sum) = 0
• 當和小於sum的時候， f(index, sum) = f(index + 1, num);
• 當和等於sum的時候，f(index, sum) = 1 + f(index + 1, sum);

但是，上面的條件，並沒有使用題目中，陣列全是正數，也就是存在負數也可以。如果僅僅是正數，後兩個改為：

• 當和小於sum的時候， f(index, sum) = 0;
• 當和等於sum的時候，f(index, sum) = 1;

有一個條件，我們沒有使用，也意味著提升的空間。

可是，上面的方案，時間複雜度是指數級。怎麼做一些改進呢？一般在對一個演算法進行優化的時候，有哪些思路呢？尤其是這種時間很恐怖的？我想很多同學都有這個經驗，就是空間換時間。

大家可以想象動態規劃的思想，大家看如下的狀態轉移方程：

dp[n][m]=dp[n-1][m]+dp[n-1][m-num[n-1]]

dp[n][m]表示前n個元素組成和為m的情況數。初始化dp[0][0]=1，其他為0。寫出狀態轉移方程，大家也就明白了，為何要求全是正數了吧，直白一些，陣列的索引，怎麼可能為負呢？在計算的過程中，將和的情況儲存下來，用空間換時間，整個演算法的時間複雜度為O(n*m)，不再是指數級。

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-08-08釋出，原創@陳利人 ，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。