藉助這一道題目來嚴謹證明一下Huffman樹的構造方法的正確性
對任意一顆\(k\)叉huffman樹，他都可以等價於一個類似於合併果子的過程，即每次取出最多\(k\)個點進行合併，然後\(k\)個點的權值和就是新的點的權值，然後把這個新的點加入決策集合，最終操作的只剩下一個點。不難證明，huffman樹所求的帶權路徑和就是合併過程中產生的每個點的點權和（包括最開始的點）
藍書上的關於最後一次不足\(k\)個的論點給了我們一個啟發：在huffman樹中（沒有新增權值為\(0\)的節點），除了倒數第二層（注意最後一層全部都是葉子）可能存在不滿\(k\)叉的節點，從第一層到倒數第三層的所有節點的叉數都是滿的；而倒數第二層也不會存在兩個點或以上不滿\(k\)叉，否則的話我們將這些點按順序排好權值和顯然不變，如下
而根據我們前面的等價，上述表述就是說明我們除了可能在第一次取的時候不取滿\(k\)個點，剩下的合併的時候都是一次性從決策集合裡面拿\(k\)個點出來的
我們再來考察取的過程。對於任意一種合併的方案，我們顯然是每次合併決策集合中最小的若干個點是最優的（用決策包容性證明，相當於越早合併被記錄的次數就越多）。那麼就可以構造出來一種方案了：根據我們上面的等價過程，我們只有在第一次的時候取不滿\(k\)個點，剩下的時候全部都從決策集合裡面拿\(k\)個點就好了。為了程式的一致性，我們在最開始的時候加入若干個零點就可以不用判斷邊界條件了