用程式消除一道概率題的二義性

東籬隱者發表於2019-01-19

  無意在維基看到了一個關於概率悖論的討論Boy or Girl paradox。有爭議的的題目如下:
  史密斯先生有兩個孩子，至少其中之一是男孩，請問兩個孩子都是男孩的可能性有多大？
  原文如下：
  Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What is the probability that both children are boys?
  一部分人的答案是1/3，一部分人的答案是1/2.為什麼會產生這樣的結果呢，文中說得很清楚是因為問題本身存在歧義，對“至少一個孩子是男孩”的資訊做不同的假設，導致了不同的結果。問題歸根結底是由於自然語言的二義性，將問題轉化成了兩個不同的數學模型，從而產生了兩個不同的結果。我們知道設計一種程式語言的任務之一就是消除其二義性，因此一般而言程式語言是一種沒有歧義的語言（所以程式設計師都喜歡寫程式碼不喜歡說話麼），如果用程式語言來描述這一問題，會不會好理解點呢？以java為例，我們來看看。
  以下是對史密斯先生有兩個孩子的可能情況進行描述，其中random.nextBoolean()函式隨機返回true或false的概率均為1/2,用於模擬現實中生男孩女孩的概率各一半。可見程式不僅描述了所有的組合，還明確了題目中暗含的條件。

 class TwoChildren
    {
        Child child1;
        Child child2;
        public TwoChildren()//一個孩子是男孩或女孩的概率是50%
        {
            child1 = random.nextBoolean()?Child.BOY:Child.GIRL;
            child2 = random.nextBoolean()?Child.BOY:Child.GIRL;
        }
    }

  接著描述“至少一個孩子是男孩”，因為這裡是存在歧義的地方，所以轉化成程式碼描述時，我們會根據兩個不同的假定，得到不同的程式碼。1/3結果的假定條件：觀察了史密斯的兩個孩子，其中一個是男孩：

boolean isObserved(TwoChildren draw) 
{
    return draw.child1 == Child.BOY || draw.child2 == Child.BOY;
}

熟悉java的程式設計師會注意到，如果child1為BOY的話，child2不會被觀察（||運算子後面的程式碼不會被執行），是否和自然語言描述不一樣？我們從邏輯或運算定義可知二者是等價的，即使||運算子後面的程式碼被執行，也不影響程式結果，換成自然語言就是我們觀察史密斯的兩個孩子時，一個一個的觀察，如果發現其中一個是男孩，就已經保證了“至少一個是男孩”，就沒必要接著觀察了。
  接著描述1/2的結果假定條件：隨機觀察了史密斯的一個孩子，其中一個是男孩：

boolean isObserved(TwoChildren draw) 
{
    return random.nextBoolean()?draw.child1 == Child.BOY:draw.child2 == Child.BOY;
}

其中random.nextBoolean()函式隨機返回true或false的概率均為1/2，就是兩個孩子被選中觀察的概率是1/2.

最後我們描述問題的提出

if(isObserved(draw))
{
    observedCount ++;
    if(draw.child1 == Child.BOY && draw.child2 == Child.BOY)
    {//兩個孩子都是男孩
        matchedCount++;
      //經過很多次運算後，((double)matchedCount/observedCount)最可能的值是多少？
    }
}

  至此我們將一個以自然語言描述的問題，轉化成了一個以程式語言描述的問題。這個轉化是否正確呢，我們做10萬次測試，看結果是否滿足數學推導的預期。以下是一個完整的測試程式碼：

package hermitdl.test2;

import java.util.Random;

/**
 * Test for <<Boy or Girl paradox>>
 */
public class App 
{
    static enum Child
    {
        BOY,
        GIRL
    };
    
    static Random random = new Random();
    
    static class TwoChildren
    {
        Child child1;
        Child child2;
        public TwoChildren()//一個孩子是男孩或女孩的概率是50%
        {
            child1 = random.nextBoolean()?Child.BOY:Child.GIRL;
            child2 = random.nextBoolean()?Child.BOY:Child.GIRL;
        }
    }
    //隨機檢查一個孩子的性別是否是男孩
    static class PeekOneTest extends ProbabilityTest
    {
        @Override
        boolean isObserved(TwoChildren draw) 
        {
            return random.nextBoolean()?draw.child1 == Child.BOY:draw.child2 == Child.BOY;
        }
    }
    //檢查兩個孩子的性別，是否其中之一是男孩
    static class PeekTwoTest extends ProbabilityTest
    {
        @Override
        boolean isObserved(TwoChildren draw) 
        {
            return draw.child1 == Child.BOY || draw.child2 == Child.BOY;
        }
    }
    
    
    static abstract class ProbabilityTest
    {
        int observedCount = 0;
        int matchedCount = 0;
        //在isObserved為真的情況下計數，以及兩個孩子均是女孩的情況計數。
        void test(TwoChildren draw)
        {
            if(isObserved(draw))
            {
                observedCount ++;
                if(draw.child1 == Child.BOY && draw.child2 == Child.BOY)
                {
                    ////兩個孩子都是男孩
                    matchedCount++;
                }
            }
        }
        abstract boolean isObserved(TwoChildren draw);
        
        void printResult()
        {
            System.out.printf(this.getClass().getSimpleName() +"=%d/%d=%f
"
            ,matchedCount
            ,observedCount
            ,((double)matchedCount/observedCount));
        }
    }
    
    public static void main( String[] args )
    {
        PeekOneTest peekOneTest = new PeekOneTest();
        PeekTwoTest peekTwoTest = new PeekTwoTest();
        TwoChildren draw;
        for(int i = 0;i < 1000000; i++)
        {
            draw = new TwoChildren();
            peekOneTest.test(draw);
            peekTwoTest.test(draw);
        }
        peekOneTest.printResult();
        peekTwoTest.printResult();
    }
}

以下為程式的幾次執行結果：
PeekOneTest=249436/499301=0.499570
PeekTwoTest=249436/750234=0.332478

PeekOneTest=250209/500229=0.500189
PeekTwoTest=250209/749846=0.333681

PeekOneTest=249963/500234=0.499692
PeekTwoTest=249963/749712=0.333412

  可見模擬結果始終分別在1/2與1/3附近波動，是符合數學預期的。

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