我們假設現在有一個節點編號為 \(1\)，一個自然數 \(m\) 表示需要連邊的條數。
我們假設這樣一個機率函式 \(p(x)\)，表示編號為 \(x\) 的節點對於一個編號小於 \(x\) 的節點 \(y\)，會有 \(p(x)\) 的機率向 \(y\) 連一條指向 \(y\) 的有向邊。
當連邊數 \(k\) 小於 \(m\) 時，節點 \(x\) 將生成 \(m-k\) 個節點，並順次編號為 \(x+1,\cdots,x+m-k\)，同時分別向這些節點連上指向它們的有向邊。
(1) 令 \(E(x)\) 表示 \(x\) 生成節點數的期望，寫出 \(E(x)\) 的一種遞推式。（筆者想到的遞推式是從滿足 \(t>x\) 的 \(E(t)\) 進行遞推的，如有更好的表達球球寧教教我）
(2) 筆者認為第一小問中的函式比較複雜且不便於更多的計算，因此給出一個 \(E(x)\) 的估計：
後面的問題中，我們將沿用這個估計。
針對此小問，已知 \(E(x)=n-e^{-x}\)，同時已知 \(nm=n-m\)，求 \(g(x)-\ln g(x)\)。
(3) 已知 \(p(x)\) 是一個 \(n\) 階多項式函式，嘗試討論 \(E(x)\) 的斂散性。（我不會，有無哥們教教我。當然也可以考慮更一般的情況）
(4) 已知 \(p(x)=0\)，且 \(E(x+m)=(m+1)E(x)\)，求 \(E(x)\)。
(5) 已知 \(p(x)=0\)，求 \(E(x)\) 關於 \(x\) 的一個函式方程 \(H(E(x),x)=0\)。（我不會，實話說這個微分方程寫出來好像確實平平無奇，但我好像並沒有學過類似微分方程的解法，有無哥們教教我）
(6) 已知 \(p(x)\) 及其一階導數，求 \(E(x)\) 關於 \(p(x),p'(x),x\) 的函式方程 \(H(E(x),p(x),p'(x),x)=0\)。（其實和上面一問差不多吧，反正我不會解）