1、一根木棒，截成三截，組成三角形的概率是多少？
設第一段截 x，第二段截 y，第三段 1 - x - y。
考慮所有可能的截法。可能的截法中必須保證三條邊都是正數且小於原來邊長，則有 0 < x < 1，0 < y < 1，0 < 1 - x - y < 1。
畫圖可知，(x, y) 必須在單位正方形的左下角的半個直角三角形裡，面積為 1 / 2。
然後考慮能形成三角形的截法。首先要滿足剛才的三個條件：
0 < x < 1
0 < y < 1
0 < 1 - x - y < 1
然後必須符合三角形的邊的要求，即兩邊之和大於第三邊：
x + y > 1 - x - y
x + 1 - x - y > y
y + 1 - x - y > x
化簡即得：
0 < x < 1/2
0 < y < 1/2
1/2 < x + y < 1
畫圖可知，此時 (x, y) 必須在邊長為 1/2 的三角形的右上角的半個直角三角形裡，面積為 1/8。於是最終概率為 (1/8) / (1/2) = 1/4。
2、有一蘋果，兩個人拋硬幣來決定誰吃這個蘋果，先拋到正面者吃。問先拋這吃到蘋果的概率是多少？
題目一看似乎答案就是 1/2，但其實認真細想並不是這麼回事。
給所有的拋硬幣操作從 1 開始編號，顯然先手者只可能在奇數（1，3，5，7…）次拋硬幣得到蘋果，而後手只可能在偶數次（2，4，6，8…）拋硬幣得到蘋果。
設先手者得到蘋果的概率為 p，第 1 次拋硬幣得到蘋果的概率為 p = 1/2，在第 3 次（3，5，7…）以後得到蘋果的概率為 p/4（這是因為這種只有在第1次和第2次拋硬幣都沒有拋到正面，概率為 1/4 = 1/2 * 1/2 的時候才有可能發生，而且此時先手者此刻面臨和開始相同的局面）；所以可以列出等式 p = 1/2 + p /4，p = 2/3（注意 p 表示先手者得到蘋果的概率）。
3、一個三角形， 三個端點上有三隻螞蟻，螞蟻可以繞任意邊走，問螞蟻不相撞的概率是多少？
乍一看好像和三角形三邊長度有關係，事實上是無關的。
首先，每個螞蟻在方向的選擇上有且只有 2 種可能，共有 3 只螞蟻，所以共有 2 的 3 次方種可能，而不相撞有有 2 種可能，即全為順時針方向或全為逆時針方向。
不相撞概率 = 不相撞 / 全部 = 2/8 = 1/4。
4、扔篩子游戲
問題描述： 商家發明一種扔篩子游戲，顧客扔到多少點就得到多少錢，但扔篩子之前顧客需要付一定數量的錢 x，假設商家和顧客都足夠聰明（1）顧客付一次錢可以扔一次的情況下，顧客能接受的最大 x 是多少（2）現在規則改為顧客付一次錢可以扔兩次，顧客扔了第一次之後可以選擇是否繼續扔第二次，如果扔了第二次則以第二次的結果為準，如果沒有扔第二次就以第一次的結果為準，這時顧客能接受的最大 x 為多少。
第一問：可以直接算顧客收益的期望為 1/6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3.5，顧客能接受的最大 x 就是他收益的期望值。
第二問：考慮顧客什麼情況下會扔第二次，就是扔第二次得到錢變多的概率相對較大的時候，那麼當顧客第一次扔到 1，2，3 的時候他會選擇繼續扔第二次，則這時候期望變為 1/6 (4 + 5 + 6) + 1/2 (1/6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)) = 4.25
5、已知一隨機發生器，產生 0 的概率是 p，產生 1 的概率是 1-p，現在要你構造一個發生器，使得它產生 0 和 1 的概率均為 1/2（隨機數生成）
由題目有： 0 : p 1 : 1 - p
連續產生兩個數，其組合以及概率如下：
00 : p2 01 : p(1 - p) 10 : (1 - p) p 11 : (1 - p)(1 - p)
可以發現 01 和 10 組合的概率是相等的，只需要將其分別對映到 0 和 1 即可。
即每次隨機產生兩個數，如果組合為00或11則丟棄，若為 01 則對映到 1，若為 10 則對映到 0，這樣一來產生 0 和 1 的概率均為 1 / 2 。
6、已知一隨機發生器，產生的數字的分佈不清楚，現在要你構造一個發生器，使得它產生 0 和 1 的概率均為 1/2（隨機數生成）
使用該隨機發生器產生隨機數 a，b，有以下 3 種情況：
- a < b
- a == b
- a > b
其中情況（1）和（3）是對稱的，發生的概率相等，只需要將這兩種情況分別對映到 0 和 1 即可，其中遇到 a == b 時忽略。
7、已知有個 rand7() 的函式，返回 1 到 7 隨機自然數，怎樣利用這個 rand7() 構造 rand10()，隨機 1 ~ 10
產生隨機數的主要原則是每個數出現的概率是相等的，如果可以得到一組等概率出現的數字，那麼就可以從中找到對映為 1 到 10 的方法。
rand7() 返回 1 ~ 7 的自然數，構造新的函式 (rand7() - 1) * 7 + rand7()，這個函式會隨機產生 1 到 49 的自然數。
原因是 1 到 49 中的每個數只有唯一的第一個 rand7() 的值和第二個 rand7() 的值表示，於是它們出現的概率是相等。
但是這裡的數字太多，可以丟棄 41 到 49 的數字，把 1 到 40 的數字分成 10 組，每組對映成 1 到 10 中的一個，於是可以得到隨機的結果。
具體方法是，利用 (rand7() - 1) * 7 + rand7() 產生隨機數 x，如果大於 40 則繼續隨機直到小於等於 40 為止，如果小於等於 40，則產生的隨機數為 (x - 1) / 4 + 1。
參考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/46592195