[題解]P1629 郵遞員送信

好久不寫圖論題了，Dijkstra都花了好長時間撿起來……之前也沒有接觸過反圖的概念。這個題算是我重拾圖論知識以來的第一題了。__φ(．．)

P1629 郵遞員送信

Dijkstra是單源最短路的演算法。但這個題除了要求節點\(1\)到其他節點的距離，還要知道其他節點回到節點\(1\)的距離。如果我們每個點都跑一遍Dijkstra，時間複雜度是\(O(n(n \log n+m))\)，即使用堆最佳化也會超時。怎麼解決呢？

我們可以額外建一個圖，和原圖相同，只不過所有邊都反向了（原圖的反圖）。這樣從\(1\)開始跑一遍單源最短路，其他節點回到\(1\)的距離就算出來了！

為了方便操作，我們把兩個圖存在一起，反圖節點從\(n+1\)開始存。這裡使用鄰接表，注意存邊的\(G\)陣列、距離\(dis\)陣列都要開\(2\)倍大小。從\(1\)和\(n+1\)各跑一次Dijkstra，最後把所有距離相加就是結果了。總時間複雜度\(O(n \log n+m)\)。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge{
	int to,w;
};
vector<edge> G[2010];
int n,m,dis[2020];
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>,greater<pair<int,int>>> q;
void dijkstra(int start){
	q.push({0,start});
	dis[start]=0;
	while(!q.empty()){
		auto p=q.top();
		int v=p.second;
		q.pop();
		int len=G[v].size();
		for(int i=0;i<len;i++){
			edge e=G[v][i];
			if(dis[e.to]>dis[v]+e.w){
				dis[e.to]=dis[v]+e.w;
				q.push({dis[e.to],e.to});
			}
		}
	}
}
int main(){
	memset(dis,127,sizeof dis);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		edge e;
		e.to=b,e.w=c;
		G[a].push_back(e);
		e.to=a+n;
		G[b+n].push_back(e);
	}
	dijkstra(1);
	dijkstra(n+1);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=2*n;i++) ans+=dis[i];
	cout<<ans;
	return 0;
}