【動態規劃（一）】動態規劃基礎

1.1 動態規劃簡介

動態規劃(dynamic programming)是運籌學的一個分支，是求解決策過程(decision process)最優化的數學方法。20世紀50年代初美國數學家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優化問題時，提出了著名的最優化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關係，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法——動態規劃。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，這是該領域的第一本著作。

動態規劃要注意兩點：1，狀態；2，狀態轉移方程。

我不太願意詳細講解下面三個問題的思考過程，一步步推導沒有太大的必要，畢竟程式設計這種事情看一百遍，還不如自己在紙上畫一畫，然後敲敲程式碼。

希望能通過下面這三個小問題，來熟悉，學習動態規劃。

 

1.2 硬幣問題

問題：如果我們有面值為1元、3元和5元的硬幣若干枚，如何用最少的硬幣湊夠11元？

解析：

（1）湊夠1元，1個1元硬幣

（2）湊夠2元，2個1元硬幣

（3）湊夠3元，3個1元硬幣或者1個3元硬幣，又1<3，所以選擇一個3元硬幣。以此類推至11元。

（4）其實是在之前的基礎確定的。如，

2元=1元（1個硬幣）+1元（1個硬幣）；//需2個硬幣

3元=2元（2個硬幣）+1元（1個硬幣）。

（5）用陣列Coin儲存硬幣種類，陣列Dp儲存相應所需最小硬幣個數，如Dp[m]=n,代表湊夠m至少需要n個硬幣。為方便使用，不使用Dp[0]。

（6）構建方程：Dp[i]=Dp[i-Coin[j]]+1;//加1代表需要Coin[j]這個硬幣

原始碼（簡單測試可用）：Talk is cheap,show me the code!

int main()
{
	int coin[Count]={1,3,5};//硬幣型別
	int Dp[Sum+1];//記錄從0-11的銀幣數目
	
	//演算法
	int i,j;
	//初始化，使每一個錢數為相應個數為1的硬幣構成
	for(i=0;i<=Sum;i++)
	{
		Dp[i]=i;
	}//Dp[0]=0不使用
	for(i=1;i<=Sum;i++)
	{
		for(j=0;j<Count ;j++)
		{
			if(i>=coin[j]&&Dp[i-coin[j]]+1<Dp[i])
			{
				Dp[i]=Dp[i-coin[j]]+1;
			}
		}
	}
	//列印
	cout<<Dp[Sum]<<endl;
	for(i=1;i<=Sum;i++)
	{
		cout<<Dp[i]<<" ";
	}
}

1.3 數塔問題

問題：從頂部出發在每一個節點可以選擇向左或者向右走，一直走到底層，

要求找出一條路徑，使得路徑上的數字之和最大.

解析：

（1）自底向上分析。先使用M二維陣列儲存該數塔，然後建立Dp二維陣列，儲存每個位置的和，如下圖

（2）每次從本層結點的2個分支結點中選出最大值，

構建方程：Dp[i][j]=Max{Dp[i+1][j],Dp[i+1][j+1]}+Arry[i][j];

原始碼（簡單測試可用）：Talk is cheap,show me the code!

//數塔問題處理函式，自底向上尋找
void DataTower()
{
	int i,j;
	//初始化
	for (i=0;i<Max;i++)
	{
		Dp[Max-1][i]=M[Max-1][i];//複製圖最後一列
	}

	//計算
	for(i=Max-2;i>=0;i--)//最後一行已經賦值，還有Max-1行沒有賦值
	{
		for(j=0;j<=i;j++)//第i行就有i列
		{
			//找出左右子節點最大的一個
			if(Dp[i+1][j]>Dp[i+1][j+1])
				Dp[i][j]=Dp[i+1][j]+M[i][j];
			else
				Dp[i][j]=Dp[i+1][j+1]+M[i][j];
		}
	}
}

列印，來源網上

//由Dp陣列,列印最終結果
void print ()
{
	cout << "最大路徑和：" << Dp[0][0] << '\n';
    int node_value;
    // 首先輸出塔頂元素
    cout << "最大路徑：" << M[0][0];
    int j = 0;
    for (int i = 1; i < Max; ++i)
    {
        node_value = Dp[i - 1][j] - M[i - 1][j];
        if (node_value == Dp[i][j + 1]) ++j;
        cout << "->" << M[i][j];
    }
    cout << endl;
}

1.4 最長非降子程式

問題：5，3，4，8，6，7

求該數列的最長非降子序

解析：

（1）假設該序列只有一個”5”,那麼最長為1；

（2）“5,3”，轉換來看“5（1），3（1）”，最長為1；

（3）“5,3,4”，轉換“5（1），3（1），4（2）”，因為最長非降序列為“3,4”，最長為2；

（4）不一一列舉，看看這條更清楚一些，“5（1）,3（1）,4（2）,8（3）,6（3）”。“6”的確定是因為“4”，“3,4,6”在“4”對應的長度上加1，為3；

（5）建立陣列Dp，構建方程：Dp[i]=Dp[j]+1;

判斷條件是A[i]>=A[j]。

原始碼（簡單測試可用）：Talk is cheap,show me the code!

本人依據以上思路寫的。

void Long01(int *A)
{
	int Dp[Max];//記錄i位置對應的相應的非降子序的個數
	int i,j;
	Dp[0]=1;//第一個元素為肯定為1
	for (i=1;i<Max;i++)
	{
		if(A[i]>=A[i-1])
		{
			Dp[i]=Dp[i-1]+1;
		}
		else
		{
			for(j=i-1;j>=0;j--)
			{
				if(A[i]>A[j])
				{
					Dp[i]=Dp[j]+1;
					break;
				}
			}
			if(j<0)
			{
				Dp[i]=1;
			}
		}
	}
}

網上跟上述思路一致，但是更簡潔

void  Long02(int *A)
{
	int d[Max];  
    int len = 1;  
    for(int i=0; i<Max; ++i){  
        d[i] = 1;  
        for(int j=0; j<i; ++j)  //迴圈i前面的幾個元素
            if(A[j]<=A[i] && d[j]+1>d[i])  //i前可能存在多個小於i的值，取最大者，個人覺得此處倒著找好一些
                d[i] = d[j] + 1;  
        if(d[i]>len) len = d[i];  
    }  
    cout<< len<<endl;  
}

1.5 總結 

比較簡單，如果有錯誤的地方，煩請大牛指教，上述的程式碼是在Vs2010中編寫的，如果有亂碼問題，可以在：https://github.com/AngryCaveman/C-Struct.git中檢視下載“018番外”資料夾下本人的原始碼，其他資料夾中專案是在Vs2013中編寫的。