動態規劃小結

動態規劃

: 在學習演算法的過程中寫了該系列在進行記錄，附加一些練習題的記錄，歡迎各位來批評指正，一起探討一起學習~

1、矩陣鏈問題（加括號問題）
description：


analysis:
1）分析最優解結構：
計算A[i:j]的最優次序所包含的計算矩陣子鏈 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最優的。
矩陣連乘計算次序問題的最優解包含著其子問題的最優解，滿足最優子結構性質。問題的最優子結構性質是該問題可用動態規劃演算法求解的顯著特徵。
2）建立遞推關係
①.設計算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少數乘次數m[i,j]，則原問題的最優值為m[1,n]。
②.遞推方程
$m[i,j] = \begin{cases} 0, & \text{i=j} \\ \min \limits_{i≤k<j}\{m[i,k]+m[k+1,j]+p_{i-1}p_{k}p_j\}, & \text{i<j} \end{cases}$
K的位置只有j-i種可能
3.1）計算最優值—遞迴求解

int RecurMatrixChain(int i, int j, int *p, int **s) {
    if(i == j) return 0;
    int u = RecurMatrixChain(i, i) + RecurMatrixChain(i+1, j)  + p[i-1]*p[i]*p[j];
    s[i][j] = i;//S[i][j]表示矩陣鏈A[i:j]最少乘次的斷開位置
    for(int k = i+1; k < j; k++){
        int t = RecurMatrixChain(i, k) + RecurMatrixChain(k+1, j)  + p[i-1]*p[k]*p[j];
        if(t < u) {u = t; s[i][j] = k;}
    }
    return u;
}

3.2）計算最優值—迭代查表求解

	/**
	 * 非遞迴方法求解矩陣連乘問題最優解
	 * @param p n個矩陣的n+1個行列值,p[0,...,n]
	 * @param t 分裂點追蹤矩陣,n+1階,t[0,...,n]
	 * @return 矩陣鏈p的最小乘次
	 */
	public static int matrixChain(int[] p, int[][] t){

		int[][] multiplyNumMatrix = new int[p.length][p.length];//最小乘次矩陣
		for(int i=0; i<p.length; i++){
			for(int j=0; j<p.length; j++){
				multiplyNumMatrix[i][j] = -1;
				t[i][j] = -1;//追蹤矩陣
			}
		}

		for(int i=0; i<multiplyNumMatrix.length; i++) multiplyNumMatrix[i][i] = 0;//一個矩陣乘次為0，即步長為1的矩陣鏈乘次為0

		for(int r=2; r<p.length; r++){//步長從2到矩陣鏈長度-1
			for(int i=1; i<=p.length-r; i++){//計算所有步長為r的鏈中的最小乘次鏈,i從1開始
				int j = i + r - 1;
				
				//multiplyNumMatrix[i][j]初始化的值為 從第一個矩陣的後面斷開
				multiplyNumMatrix[i][j] = multiplyNumMatrix[i][i] + multiplyNumMatrix[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
				t[i][j] = i;//記錄斷開的位置
				for(int k=i+1; k<j; k++){//遍歷所有的斷開點[i+1,j-1]，自底向上進行求解
					int temp = multiplyNumMatrix[i][k] + multiplyNumMatrix[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
					if(temp < multiplyNumMatrix[i][j]){
						multiplyNumMatrix[i][j] = temp;//記錄最小乘次
						t[i][j] = k;//記錄斷開的位置
					}
				}
			}
		}
		return multiplyNumMatrix[1][p.length-1];
	}

利用以下遞迴的方法處理追蹤矩陣便可以得到最終的組合方式：

	public static void traceback(int i, int j, int[][] t){
		if(i == j)	return;

		traceback(i, t[i][j], t);
		traceback(t[i][j]+1, j, t);

		System.out.print(i + "," + t[i][j] + "and");
		System.out.print(t[i][j]+1);
		System.out.print("," + j);
		System.out.println();
	}

2、最長公共遞增子序列問題
1)description：


2)analysis：


有如下形式的遞推方程：
$c[i,j] = \begin{cases} 0, & \text{i=0 or j=0} \\ c[i-1,j-1] + 1, & \text{i,j>0;xi =yj}\\ \max\{c[i-1,j],c[i,j-1]\}, & \text{i,j>0;xi !=yj} \end{cases}$
3）計算最優值
子問題空間總共有θ(mn)個不同的子問題，因此，用動態規劃演算法自底向上地計算最優值能提高演算法的效率。
得到如下遞推矩陣：

	public static int myLongestComSeq(char[] s1,char[] s2, int[][] t, int[][] track) {
		//初始化第9行以及第0列
		for(int i=0;i<s1.length+1;i++) {
			t[i][0] = 0;
			if(i==0) {
				for(int j=0;j<s2.length+1;j++) {
					t[i][j] = 0;
				}
			}
		}
		//按照先行後列的順序求解遞推方程
		//t[i][j]儲存Xi和Yj的最長公共子序列的長度，track[i][j]記錄t[i][j]的值是由哪一個子問題的解得到的，後面構造最長公共子序列時需要用到。

		for(int i=1;i<s1.length+1;i++) {
			for(int j=1;j<s2.length+1;j++) {
				System.out.println("i="+i+",j="+j);
				if(s1[i-1]==s2[j-1]) {
					t[i][j] = t[i-1][j-1] + 1;
					track[i][j]=1;
				}
				else {
					t[i][j] = Math.max(t[i-1][j], t[i][j-1]);
					if(t[i-1][j]>=t[i][j-1]) {
						track[i][j]=2;
					}
					else {
						track[i][j]=3;
					}
				}
			}
		}
		//列印最終的儲存結果的矩陣
		return t[s1.length][s2.length];
	}

（4）構造最優解
從track[m][n]開始，在陣列b中搜尋，當track[i][j]=1時，表示Xi和Yj的最長公共子序列是由Xi-1和Yj-1的最長公共子序列在尾部加上xi所得到的子序列；當track[i][j]=2時，表示表示Xi和Yj的最長公共子序列與Xi-1和Yj的最長子序列相同；當track[i][j]=3時，表示表示Xi和Yj的最長公共子序列與Xi和Yj-1的最長子序列相同。

	//列印出最長公共子序列
	public static void trackback(int t[][],int i,int j,char[] s) {
		if(i==1&&j==1) {
			return;
		}
		else if(t[i][j] == 1) {
			trackback(t,i-1,j-1,s);
			clist.add(s[i-1]);
			clist.add('>');
		}
		else if(t[i][j] == 2) {
			trackback(t,i-1,j,s);
		}
		else if(t[i][j] == 3) {
			trackback(t,i,j-1,s);
		}
	}

3、三角形最優剖分問題（加括號問題與矩陣鏈問題同構）
4、電路佈線問題
description:

	/**
	 * 單層最大布線數求解演算法
	 * @param perm 順序接線柱連線點的一個排列
	 * @param size 最大布線數目儲存方陣，階為perm長度+1
	 * @return 單層最大布線數目
	 */
	public static int maxNetSet(int[] perm, int[][] size){
		int portNum = perm.length;

		//矩陣賦初值，上端0個接線柱情況(i=0)，最大布線數為0
		for(int j=0; j<=portNum; j++)	size[0][j] = 0;

		for(int i=1; i<=portNum; i++){//上端接線柱序列
			for(int j=0; j<perm[i-1]; j++){//下端接線柱序列
				size[i][j] = size[i-1][j];//第i號導線無法放
			}
			for(int j=perm[i-1]; j<=portNum; j++){//下端接線柱序列
				size[i][j] = max(size[i-1][perm[i-1]-1]+1, size[i-1][j]);//取放第i號導線和不放第i號導線中的最大布線數值
			}
		}
		return size[portNum][portNum];
	}

5、影象壓縮問題

6、最大子段和問題
7、投資問題
8、揹包問題
9、最優二叉搜尋樹問題
10、流水作業問題
11、序列匹配問題
12、總結