禮物的最大價值（一維動態規劃&二維動態規劃）

題目：

在一個 m*n 的棋盤的每一格都放有一個禮物，每個禮物都有一定的價值（價值大於 0）。你可以從棋盤的左上角開始拿格子裡的禮物，並每次向右或者向下移動一格、直到到達棋盤的右下角。給定一個棋盤及其上面的禮物的價值，請計算你最多能拿到多少價值的禮物？

輸入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
輸出: 12
解釋: 路徑 1→3→5→2→1 可以拿到最多價值的禮物

解析：

方法一： 動態規劃（二維）。動歸解題的三大步驟，第一步，列出確定狀態dp[i][j]表示到達i, j位置的最大價值。第二步，轉態轉移方程，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i], [j - 1]) + grid[i][j];。第三步，初始條件的邊界條件，第一行（第一列）只能從左到右（從上到下）累加。
方法二： 對方法一動態規劃（二維）的做優化，具體使用一維動態規劃方法解決。第一步，列出確定狀態dp[i][j]表示到達i, j位置的最大價值。第二步，轉態轉移方程，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i], [j - 1]) + grid[i][j];。第三步，初始條件的邊界條件，dp[i][0] = {0}, dp[0][j] = {0}（就是第一行和第一列全部設定為0）。

參考答案：

class Solution{
public:
	int maxValue(vector<vector<int> > &grid){
		//方法一：二維動態規劃
		if(grid.empty() || grid[0].empty())
			return 0;
		vector<vector<int> > dp(grid.size(), vector<int>(grid[0].size(), 0));
		dp[0][0] = grid[0][0];
		for(int i = 1; i < grid.size(); ++i){
			dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
		}
		for(int j = 1; j < grid[0].size(); ++j){
			dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
		}
		for(int i = 1; i < grid.size(); ++i){
			for(int j = 1; j < grid[0].size(); ++j){
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
			}
		}
		return dp[grid.size() - 1][grid[0].size() - 1];
		
		//方法二：一維動態規劃
		if(grid.empty() || grid[0].empty())
			return 0;
		vector<int> dp(grid[0].size() + 1, 0);
		for(int i = 0; i < grid.size(); ++i){
			for(int j = 0; j < grid[0].size(); ++j){
				dp[j + 1] = max(dp[j], dp[j + 1]) + grid[i][j];
			}
		}
		return dp[grid[0].size()];
	}
};