禮物的最大價值(一維動態規劃&二維動態規劃)
題目:
在一個 m*n 的棋盤的每一格都放有一個禮物,每個禮物都有一定的價值(價值大於 0)。你可以從棋盤的左上角開始拿格子裡的禮物,並每次向右或者向下移動一格、直到到達棋盤的右下角。給定一個棋盤及其上面的禮物的價值,請計算你最多能拿到多少價值的禮物?
輸入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
輸出: 12
解釋: 路徑 1→3→5→2→1 可以拿到最多價值的禮物
解析:
方法一: 動態規劃(二維)。動歸解題的三大步驟,第一步,列出確定狀態dp[i][j]
表示到達i, j
位置的最大價值。第二步,轉態轉移方程,dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i], [j - 1]) + grid[i][j];
。第三步,初始條件的邊界條件,第一行(第一列)只能從左到右(從上到下)累加。
方法二: 對方法一動態規劃(二維)的做優化,具體使用一維動態規劃方法解決。第一步,列出確定狀態dp[i][j]
表示到達i, j
位置的最大價值。第二步,轉態轉移方程,dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i], [j - 1]) + grid[i][j];
。第三步,初始條件的邊界條件,dp[i][0] = {0}, dp[0][j] = {0}
(就是第一行和第一列全部設定為0)。
參考答案:
class Solution{
public:
int maxValue(vector<vector<int> > &grid){
//方法一:二維動態規劃
if(grid.empty() || grid[0].empty())
return 0;
vector<vector<int> > dp(grid.size(), vector<int>(grid[0].size(), 0));
dp[0][0] = grid[0][0];
for(int i = 1; i < grid.size(); ++i){
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
for(int j = 1; j < grid[0].size(); ++j){
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
for(int i = 1; i < grid.size(); ++i){
for(int j = 1; j < grid[0].size(); ++j){
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
}
}
return dp[grid.size() - 1][grid[0].size() - 1];
//方法二:一維動態規劃
if(grid.empty() || grid[0].empty())
return 0;
vector<int> dp(grid[0].size() + 1, 0);
for(int i = 0; i < grid.size(); ++i){
for(int j = 0; j < grid[0].size(); ++j){
dp[j + 1] = max(dp[j], dp[j + 1]) + grid[i][j];
}
}
return dp[grid[0].size()];
}
};
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