Problem Description
Input
從檔案
world.in中讀入資料。
Output
輸出到檔案
world.out中。輸出共 T 行，第 i 行表示第 i 組測試資料的答案，如果可行則輸出 Yes，否則輸出 No。
Sample Input Copy
樣例輸入1： 1 2 3 000 000 111 001 樣例輸入2： 1 3 4 0000 0101 0001 1011 0001 1100 樣例輸入3： 1 4 5 11000 01010 00011 10110 00011 11001 11010 10001Sample Output Copy
樣例輸出1： Yes 樣例輸出2： Yes 樣例輸出3： NoData Constraint
首先，\(A\gets A\oplus B\)，我們的問題就變成了怎麼操作使得一個空矩陣變成新的矩陣 \(A\)。
先考慮只能操作行和列，該怎麼做。
如果這張圖是合法的，我們發現對於任意的 \(2\times2\) 子矩陣 \(\begin{bmatrix} a_{0,0} & a_{0,1} \\ a_{1,0} & a_{1,1} \end{bmatrix}\)，有 \(a_{0,0}\oplus a_{0,1}\oplus a_{1,0}\oplus a_{1,1}=0\)。
我們來證明一下，因為對於操作行和列，一定會操作 \(2\times2\) 子矩陣中的任意兩個，那麼異或結果不變。
所以，我們定義 \(a_{0,0},a_{0,1},a_{1,0},a_{1,1}\) 這類異或結果不變的為固定元素，其餘的為不固定元素。
\(2\times2\) 子矩陣中有固定元素，也就是這個子矩陣被固定了，所以它合法。
存不存在更小的子矩陣呢？比如說 \(1\times1\) 子矩陣。
答案是不存在的，因為對於一個 \(1\times1\) 子矩陣 \(\begin{bmatrix} a_{0,0} \end{bmatrix}\)，我們可以隨意修改這個點，所以不存在固定元素，不合法。
考慮加入對角線操作。
如果還是剛剛的 \(2\times2\) 矩陣，我們發現由於對角線操作的加入可以出現形如 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)，\(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) 等等等等的矩陣，子矩陣中沒有一個元素是固定元素，這個子矩陣是不固定的！
所以考慮更大的子矩陣。
考慮一個 \(4\times4\) 子矩陣，我們發現對於任意的 \(4\times4\) 子矩陣 \(\begin{bmatrix} a_{0,0} & \textcolor{red}{a_{0,1}} & \textcolor{red}{a_{0,2}} & a_{0,3} \\ \textcolor{red}{a_{1,0}} & a_{1,1} & a_{1,2} & \textcolor{red}{a_{1,3}} \\ \textcolor{red}{a_{2,0}} & a_{2,1} & a_{2,2} & \textcolor{red}{a_{2,3}} \\ a_{3,0} & \textcolor{red}{a_{3,1}} & \textcolor{red}{a_{3,2}} & a_{3,3} \\ \end{bmatrix}\)，有 \(a_{0,1}\oplus a_{0,2}\oplus a_{1,0}\oplus a_{1,3}\oplus a_{2,0}\oplus a_{2,3}\oplus a_{3,1}\oplus a_{3,2}=0\)。（為了方便我將這些固定元素標紅）
證明顯然：
- 對於 \(a_{0,0},a_{0,3},a_{3,0},a_{3,3}\)，可以進行一個對角線操作，所以這些元素是可以隨便調整的，是不固定元素；
- 對於 \(a_{0,1},a_{0,2},a_{1,0},a_{1,3},a_{2,0},a_{2,3},a_{3,1},a_{3,2}\)，這些元素無法抵消，只能進行對角線同時操作兩個固定元素，所以異或結果不會變化；
- 對於 \(a_{1,1},a_{1,2},a_{2,2},a_{2,2}\)，這些元素可以透過亂搞抵消，具體自己亂搞。
所以這個子矩陣是固定的。
我們繼續發現，不存在比 \(4\times4\) 還小的子矩陣。
所以這道題就很簡單了，列舉矩陣 \(A\) 的子矩陣左上角 \((i,j)\)，只需要所有的子矩陣均滿足滿足 \(a_{i,j+1}\oplus a_{i,j+2}\oplus a_{i+1,j}\oplus a_{i+1,j+3}\oplus a_{i+2,j}\oplus a_{i+2,j+3}\oplus a_{i+3,1}\oplus a_{j+3,2}=0\)，則這張圖有解。
時間複雜度 \(O(nm)\)。
然後這道題就可以開始加強了，比如加入各種新印章，都可以用這種方法輕鬆解決。
#include <cstdio>
#include <chrono>
#include <random>
using namespace std;
using namespace chrono;
#define ll long long
#define N 1010
ll t, n, m;
char a[N][N], b[N][N];
int main() {
freopen("world.in", "r", stdin);
freopen("world.out", "w", stdout);
scanf("%lld", &t);
while(t--) {
scanf("%lld %lld", &n, &m);
for(ll i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%s", a[i]+1);
}
for(ll i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%s", b[i]+1);
for(ll j = 1; j <= m; j++) {
if(a[i][j] == b[i][j]) a[i][j] = 0;
else a[i][j] = 1;
}
}
bool flag = 1;
for(ll i = 1; i <= n - 3; i++) {
for(ll j = 1; j <= m - 3; j++) {
if(a[i][j+1] ^ a[i][j+2] ^ a[i+1][j] ^ a[i+1][j+3] ^ a[i+2][j] ^ a[i+2][j+3] ^ a[i+3][j+1] ^ a[i+3][j+2]) {
printf("No\n");
flag = 0;
break;
}
}
if(!flag) break;
}
if(flag) printf("Yes\n");
}
}