域
基本定義
定義：若\(R\)是一個環，並且\(R^*=R\setminus\{0\}\)對於乘法構成一個交換群，則稱\(R\)為一個域。
定義：交換除環叫作域。
定理：域一定是整環。
定理：有限整環一定是域。
定義：只包含有限個元素的域稱為有限域，其元素個數稱為該域的階。有限域又叫作伽羅瓦域(Galois field)。
分式域
包含一個整環的最小域為分式域
一個域\(F\)稱為一個整環\(D\)的分式域，如果\(F\)包含\(D\)，且\(F=\{ab^{-1}|a,b∈D\}\)
即\(D\)中任意一個非零元在\(F\)中有逆元
記作\(F(D)\)
\(ab^{-1}+cd^{-1}=(ad+cb)(bd)^{-1},(ab^{-1})(cd^{-1})=(ac)(bd)^{-1}.\)
域F中的每一個元素\(ab^{-1}\)代表的是一個集合，即\(ab^{-1}=\{(c,d)|(a,b)~(c,d),a,b,c,d∈D\}\),這裡\(~\)為等價關係，即：\((a,b)~(c,d)⇔ ad=bc\)
域的特徵與素域
素域
設\((K,+,\cdot )\)是域，\(F\)是\(K\)的非空子集，且\((F，+，·)\)也是域，則稱\(F\)是\(K\)的子域\((subfield)\)，\(K\)是\(F\)的擴域\((extension field)\)，記作\(F≤K\)。
設\(S\)是域\(F\)中的一個非空子集，則包含\(S\)的最小子域，稱為由\(S\)生成的子域，記作\((S)\)。由元素\(1\)生成的子域稱為素域(prime field).
一個域被稱為素域，如果它不含有真子域。
例如：有理數域\(Q\),素數\(p\) 域\(Z_p\)
域的特徵
記加法階\(0^{+}(1)\)
定理 設F是域，則元素1在(F，+)中的階數或為某個素數p，或為無窮大.
定義 設F是域，若元素1在(F，+)中的階數為素數p，則稱p為域F的特徵，若元素1在(F，+)中的階數為無窮大，則稱F的特徵為0，F的特徵記作chF，故有
\(chF=\begin{cases}p，0^{+}(1)=p,\\0，0^{+}(1)=\infty.\end{cases}\)
定理 設F是域，\(F_0\)是F的素域，則
\(F_0\cong\begin{cases}(\mathbb{Q}，+,\cdot)，chF=0，\\\\\ (Z_p，+,\cdot)，chF=p.\end{cases}\)
域的特種的結論
(1)域可分為兩類：
①若\(chF=0\)，則F是\(\mathbb{Q}\)上的擴域，是無限域.例如數域\((R，+，·)\)，\(C，+，·\)等都以\(\mathbb{Q}\)作為素域；
②若\(chF=p\)(素數)，則\(F\)是\(\mathbb{Z}_p\)上的擴域，這時，\(F\)可以是有限域，也可以是無限域.如果\(F\)是有限域，則\(chF\)必是某個素數.
(2)若F是特徵為p的域，則
(i)對任何\(a\in F\)有\(pa=0\);
(ii)對任何\(a\in F^*\)，且\(na=ma\)，則\(n\equiv m(mod p)\).
(iii)對任何\(a,b\in F\)有\((a+b)^{p^e}=a^{p^e}+b^{p^e}\)，e為任意正整數.
(3)\(\forall n\in Z\)，且\(p\nmid n\)，\(p\)為素數)有
\(n^{p-1}\equiv 1(mod p)\).
(4)域F的乘群(F\(^*\)，·)的任何有限子群都是迴圈群.