置換群
變換群與置換群
設\(X\)為非空集合，集合\(X\)到\(X\)的一對一變換稱為雙射變換，X上全體雙射變換集合記成T(X)。如果X為有限集合，則稱T(X)中的元素為X上的置換。
在T(X)中引入一個二元運算$\circ $, \(\forall α,β∈T(X)\)，定義\(α\circ β\)為變換\(α\)與\(β\)的複合，即對任意\(x\in X\)，有
我們把\(α\circ β\) 簡記為 \(αβ\)
\(T(X)\)在 \(\circ\) 下為群，稱為變換群。
若\(X\)是有限集，則\(T(X)\)稱為置換群。如果\(|X|=n\), 則\(T(X)\)稱為\(n\)元對稱群，記為\(S_n\)。
設 \(X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\), 不妨用 1,2,\(\cdots,n\)來表示這 n 個元素。
若 \(\sigma \in T(X)=S_n\) 滿足:
\(\sigma(1)=i_1,\sigma(2)=i_2,\cdots,\sigma(n)=i_n,\)
則此變換可以記為
\(\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&n\\i_1&i_2&i_3&\cdots&i_n\end{pmatrix}\)
迴圈置換/輪換
設\(x=\{1,2,...,n\}\)，\(\sigma\)是其上的一個置換，若有一個子集\({i_1,i_2,...,i_r}\)，使得：
\(\sigma(i_1)=i_2,\sigma(i_2)=i_3,...,\sigma(i_{r-1})=i_r,\sigma(i_r)=i_1,\)
而\(\sigma\)保持其他數碼不變，則稱\(\sigma\)是X上的一個迴圈置換或長度為\(r\)的輪換
並記：\(\sigma=(i_1i_2...i_r)\)
如果\(r=2\)，則稱\(\sigma\)是X上的一個對換
\(\sigma=(i_1i_2...i_r),\gamma=(k_1k_2...k_s)\)，如果\(i_1,i_2,...,i_r\)與\(k_1,k_2,...,k_s\)沒有公共數碼，則稱\(\sigma\)和\(\gamma\)不相交
置換的輪換分解
\(\sigma\)可分解為不相交的輪換之積:
例如：
設\(\tau=\left(\begin{array}{ccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
5&8&3&2&4&6&9&1&10&7
\end{array}\right)\)。把\(\tau\)分解成不相交迴圈的乘積。
\(1→5→4→2→8→1\)，\((15428).\)
\(7→9→10→7\)，\((7910).\)
\(\tau=(15428)(7910)\)
置換的對換分解
任一置換可表示為若干對換的乘積
\((i_1 i_2 i_3 ... i_k - 1 i_k ) = (i_1 i_k)(i_1 i_{k-1})...(i_1 i_3)(i_1 i_2)\)
例如：
設 \(\tau = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 8 & 3 & 2 & 4 & 6 & 9 & 1 & 10 & 7\end{pmatrix}\) 。把 $\tau $ 分解成對換的乘積。
\(\tau = (15428)(7910)\)
\(= (18)(12)(14)(15)(710)(79)\)
cayley定理
任何一個群同構與一個變換群，任何一個有限群同構於一個置換群。