寫的不好別D啊，算是一些知識的歸納（雖然也是看的別人的學的吧）
群論
仙姑
置換
置換與排列
對於一個集合 \(D\) ，其大小為 \(|D|\)，而排列是指這 \(|D|\) 個元素按照某種規定按一定順序進行重新組成。而置換是指對這 \(|D|\) 個元素重新排列，不同元素之間交換位置，從而形成新的排列。同時，集合 \(D\) 可以形成的置換數目為 \(|D|!\),注意 0！=1，指空集合只有一個置換，即為空置換。
置換的表示
置換用符號 \(\sigma\) 表示，例如對於排列1，2，3，4，5，6，其一個置換為 \(\sigma=364152\),其中 \(\sigma(1)=3,\sigma(2)=6...\sigma(6)=2\)。常表示為\(\sigma=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_{p_1}&x_{p_2}&\cdots&x_{p_n}\end{pmatrix}.\),這實際上就是有限集 \(X\)在自身上的雙射,而一個集合上的置換在函式合成運算下構成一個群，稱為對稱群。對稱群的一個n元子群是n元置換群，這裡不過多敘述。
輪換分解
還有一種表示方法叫輪換分解，具體方法看oi-wiki，不寫了，像上面提到的例子可以輪換表示為 \(\sigma=(134)(26)(5)=(134)(26)\) ，每一對括號中，都是一個輪換。括號中的元素個數，稱為對應輪換的長度。實踐中，常常省略掉長度為一的輪換。恆等變換中所有的輪換長度都是一，常常記作 \((1)\) 而不是全部省略
置換的輪換分解由於其特殊的迴圈性質，導致其可以清晰的用幾何表示，將置換中的一組數 \((x,\sigma(x))\) 看作一條邊，則整個置換便是由若干個不相交的環構成的，每一個環就代表了一個輪換。任何置換都可以寫成一系列對換的乘積，我們考慮一下一次對換對輪換的影響。
1：兩個元素屬於同一輪換：
2：兩個元素屬於不同輪換：
從上圖可知，一次對換會使置換的輪換數變化 \(1\),這也證明了一次對換必定改變置換的奇偶性。
置換的乘法
就是置換的複合，即如果有兩個置換
那麼他們的乘積為
置換的性質
奇偶性
置換分解成一系列對換的方式不是唯一的(畢竟只考慮結果，過程很多樣)，但分解出來的對換的個數的奇偶性是相同的，可以用上面的那個結論證明。而一個置換的對換分解的數目的奇偶性就是置換的奇偶性。
一個快速判斷置換奇偶性的式子，設 \(n\) 個元素做輪換分解後有 \(k(\sigma)\) 個輪換，則置換 \(\sigma\) 的奇偶性與 \(n-k(\sigma)\) 相同。
\(n>=2\) 時，\(n\) 元置換群中奇置換和偶置換數目相等
證明：我們設\(S_n\)表示 \(n\) 元置換群， \(X=\{s_1,s_2\cdots s_m\}\) 表示全部其中的全部奇置換，\(Y\) 表示其中的全部偶置換，取群中任意對換 \(\sigma\)，對於\(X\) 中任意置換 \(s_i\) ,根據群的封閉性，都有 \(\sigma \cdot s_i \in S_n\) ,又因 \(\sigma \cdot s_i\) 是偶置換，則 \(\sigma \cdot s_i \in Y\)，又因群內建換各不相同,所以 \(X,Y\) 的個數均為 \(S_n\) 大小的一半，即 \(\frac{n!}{2}。\)
置換的階
置換的階（order）是指滿足如下條件的最小正整數 \(a\)：重複該置換 \(a\) 次後，所有元素都回到了原位。即$$\operatorname{ord} \sigma = \min \begin{Bmatrix} a \in \mathbf N_+: \sigma^a=(1) \end{Bmatrix}.$$
一個置換的階也等於其輪換分解後的，每一個輪換長度的 \(lcm\) 。
柯西公式
對稱群 \(s_n\) 中格式為 \((a_1,a_2\cdots a_n)\) 的置換（共軛類 \(s_n\) 的元素個數）的個數為
（簡化一下，就是長度為 \(k\) 的輪換有 \(a_k\) 個，問不同的置換的數目）
證明：
任何一個長度為 \(n\) 的排列，都可以根據要求分割為對應的輪換分解，共 \(n!\) 種，但長度相同的輪換位置沒有影響，要除以 $ \prod_k\alpha_k!$,同一個輪換內部的元素組成了一個環，順序也無影響，所以要除以 \(\prod_kk^{\alpha_k}\),
參考部落格：
Permutation (排列與置換)
置換入門（知識點）
置換和排列