群論

引入

在數學和抽象代數中，群論（Group Theory）主要研究叫做「群」的代數結構。

定義

在數學中，群（group）是由一種集合以及一個二元運算所組成的，符合「群公理」的代數結構。

一個群是一個集合 \(G\) 加上對 \(G\) 的二元運算。二元運算用 \(\cdot\) 表示，它結合了任意兩個元素 \(a\) 和 \(b\) 形成了一個屬於 \(G\) 的元素，記為 \(a\cdot b\)。

群公理包含下述四個性質（有時略去封閉性，只有三個性質）。若集合 \(G\neq\varnothing\) 和 \(G\) 上的運算 \(\cdot\) 構成的代數結構 \((G,\cdot)\) 滿足以下性質：

1. 封閉性：對於所有 \(G\) 中 \(a, b\)，運算 \(a\cdot b\) 的結果也在 G 中。
2. 結合律（associativity）：對於 \(G\) 中所有的 \(a, b, c\)，等式 \((a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) 成立。
3. 單位元（identity element，也稱么元）：\(G\) 中存在一個元素 \(e\)，使得對於 \(G\) 中的每一個元素 \(a\)，都有一個 \(e \cdot a=a\cdot e=a\) 成立。這樣的元素是獨一無二的。它被稱為群的單位元。
4. 逆元（inverse element）：對於每個 \(G\) 中的 \(a\)，總存在 \(G\) 中的一個元素 \(b\) 使 \(a \cdot b = b \cdot a = e\)，此處 \(e\) 為單位元，稱 \(b\) 為 \(a\) 的逆元，記為 \(a^{-1}\)。

則稱 \((G,\cdot)\) 為一個 群。例如，整數集和整數間的加法 \((\mathbb{Z},+)\) 構成一個群，單位元是 0，一個整數的逆元是它的相反數。

群的衍生結構

• 若代數結構 \((G,\cdot)\) 滿足封閉性、結合律性質，則稱 \((G,\cdot)\) 為一個 半群（semigroup）。
• 若半群 \((G,\cdot)\) 還滿足單位元性質，則稱 \((G,\cdot)\) 為一個 么半群（monoid）。
• 若群 \((G,\cdot)\) 還滿足 交換律（commutativity）：對於 \(G\) 中所有的 \(a,b\)，等式 \(a\cdot b=b\cdot a\) 成立。
  則稱 \((G,\cdot)\) 為一個 阿貝爾群（Abelian group），又稱 交換群（commutative group）。

環

形式上，環（ring）是一個集合 \(R\) 及對 \(R\) 的兩個二元運算：加法 \(+\) 和乘法 \(\cdot\)（注意這裡不是我們一般所熟知的四則運算加法和乘法）所組成的，且滿足如下性質的代數結構 \((R,+,\cdot)\)：

1. \((R,+)\) 構成交換群，其單位元記為 \(0\)，\(R\) 中元素 \(a\) 的加法逆元記為 \(-a\)。
2. \((R,\cdot)\) 構成半群。
3. 分配律（distributivity）：對於 \(R\) 中所有的 \(a,b,c\)，等式 \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\) 和 \((a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\) 成立。

??? warning

在有的定義中，環必須存在乘法單位元；相對地，不存在乘法單位元的則被稱為 **偽環**（rng 或 pseudo-ring）。遇到的時候需根據上下文加以判斷。

維基百科採用的就是這種定義：[^ring-wiki]

> In the terminology of this article, a ring is defined to have a multiplicative identity, while a structure with the same axiomatic definition but without the requirement for a multiplicative identity is instead called a rng (IPA:/rʊŋ/). For example, the set of even integers with the usual + and ⋅ is a rng, but not a ring. As explained in § History below, many authors apply the term "ring" without requiring a multiplicative identity.

在抽象代數中，研究環的分支為 環論。

環的衍生結構

• 若環 \(R\) 上的乘法還滿足交換律，則稱 \(R\) 為 交換環（commutative ring）。
• 若環 \(R\) 存在乘法單位元 \(1\)，則稱 \(R\) 為 么環（ring with identity）。
• 若么環 \(R\) 的所有非 \(0\) 元素 \(a\) 存在乘法逆元 \(a^{-1}\)，則稱 \(R\) 為 除環（division ring）。

域

域（field）是一個比環性質更強的代數結構，具體地，域是交換除環。

域的研究方法和環大不相同。在抽象代數中，研究域的分支為 域論。

群的基本概念

定義 \(X={x,y,z}\) 為包含 \(x, y, z\) 元素的集合 \(X\)。\(x \in X\) 表示 \(x\) 屬於集合 \(X\)。\(f:X\to Y\) 表示 \(f\) 是一個與 \(X\) 的每個元素和 \(Y\) 的元素相關聯的函式。

在研究集合時，我們使用子集（subset）、函式（function）和等價關係商（quotient by an equivalence relation）等概念。在研究群時，我們透過等價關係用子群（subgroup）、同態（homomorphism）和商群（quotient group）來代替。

群同態

群同態 是保持群結構的函式，可用於關聯兩個群。

從群 \((G,\cdot)\) 到群 \((H,*)\) 的同態是一個函式 \(\varphi :G\to H\) 使得對於 \(G\) 中所有的元素 \(a\) 和 \(b\)：

\[\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b) \]

則\((\varphi(G),*)\)是\((G,\cdot)\)的同態象，即群 \((H,*)\) 是群 \((G,\cdot)\) 的同態象

\(e_H\)是群 \((H,*)\) 的么元，則集合\(Ker(\varphi)=\{x|x∈G ∧ \varphi(x)∈H\}\)被稱為群同態\(\varphi\)的核，簡稱\(\varphi\)的同態核，同態核是群 \((G,\cdot)\) 的一個子集

易證，同態核\(Ker(\varphi),\cdot)\) 是群 \((G,\cdot)\) 的子群

子群

子群：群 \((G,\cdot), (H,\cdot)\)，滿足 \(H\subseteq G\)，則 \((H,\cdot)\) 是 \((G,\cdot)\) 的子群。

子群 是包含在更大的群 \(G\) 內的一個群 \(H\)。它具有 \(G\) 的元素的子集和相同操作。這意味著 \(G\) 的單位元素必須包含在 \(H\) 中，並且每當 \(h_{1}\) 和 \(h_{2}\) 都在 \(H\) 中，那麼 \(h_{1}\cdot h_{2}\) 和 \(h_{1}^{-1}\) 也在 \(H\) 中。所以 \(H\) 中的元素，和在 \(G\) 上的限制為 \(H\) 的群操作，形成了一個群體。

即，若 \((G,\cdot)\) 是群，\(H\) 是 \(G\) 的非空子集，且 \((H,\cdot)\) 也是群，則稱 \((H,\cdot)\) 是 \((G,\cdot)\) 的 子群。

子群檢驗法（subgroup test）是群 \(G\) 的子集 \(H\) 是子群的充分必要條件：對於所有元素 \(g,h \in H\)，\(g^{-1}\cdot h\in H\)。

平凡子群：平凡子群包括原群本身，以及載體只含一個么元的子群（注意：群中沒有零元，只有么元，么元是群中唯一的等冪元）

陪集

陪集（coset）是一個群的子集，它包含透過將群的一個固定元素乘以給定子群的每個元素在右邊或左邊相乘以得到的所有乘積。

在許多情況下，兩個群元素可能是等價的。例如，在正方形的對稱群中，一旦進行了反射，僅靠旋轉就不能使正方形回到原來的位置，所以可以認為正方形的反射位置相互等價，而不等價於未反射的位置；旋轉操作與是否進行了反射無關。陪集被用來正式表達這個觀點：一個子群 \(H\) 決定了左右陪集，陪集可以說是 \(H\) 經過任何群元素 \(g\) 的變換（即左乘或右乘）。用符號表示，包含元素 \(g\) 的 \(H\) 的左右陪集分別是：

\[\begin{aligned} gH&=\{g\cdot h\mid h\in H\} \\ Hg&=\{h \cdot g\mid h\in H\} \end{aligned} \]

令 \([G : H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的左陪集數（等價於右陪集數）。

共軛

如果群中有一個元素 \(g\) 使得 \(b=g^{-1}ag\)，群的兩個元素 \(a\) 和 \(b\) 是 共軛（conjugate）的。這是一個等價關係，其等價類稱為 共軛類（conjugacy classes）。

正規子群

正規子群（normal subgroup）是在共軛變換下不變的子群；換句話說，如果對於所有 \(g \in G, h \in H\)，都有 \(g^{-1}hg \in H\)，則 \(H\) 為 \(G\) 的正規子群，記作 \(H \triangleleft G\)。

生成子群

\(S \subset G\) 的 生成子群（generated subgroup）\(\langle S \rangle\) 是 \(G\) 的包含 \(S\) 的最小子群，也是 \(G\) 的包含 \(S\) 的所有子群的交，稱 \(S\) 為 群的生成集(generating set of a group)。

如果 \(G = \langle S \rangle\)，我們稱 \(S\) 生成 \(G\)，\(S\) 中的元素叫做生成元或群生成元。

\(S\) 中只有一個元素 \(x\) 時，\(\langle S \rangle\) 通常寫為 \(\langle x \rangle\)。在這種情況下，\(\langle x \rangle\) 是 \(x\) 的冪的迴圈子群（即 \(\langle a \rangle = \{a^k, k \geq 1 \}\)），我們稱這個迴圈群是用 \(x\) 生成的。

商群

商群（quotient group）或因子群（factor group）是透過使用保留一些群結構的等價關係聚合更大群的相似元素獲得的群。

在某些情況下，子群的陪集集可以被賦予群律，給出商群或因子群。為了使其成立，子群必須是正規子群（normal subgroup）。給定任何正規子群 \(N\)，商群定義為

\[G/N=\{gN\mid g\in G\} \]

階

群 \(G\) 的階是它元素的個數，記作 \(\operatorname{ord}(G)\) 或 \(\lvert G \rvert\)，無限群有無限階。

群 \(G\) 內的一個元素 \(a\) 的階是使 \(a^m = e\) 成立的最小正整數 \(m\)，記作 \(\operatorname{ord}(a)\) 或 \(\lvert a \rvert\)，等於 \(\operatorname{ord}(\langle a \rangle)\)。若這個數不存在，則稱 \(a\) 有無限階。有限群的所有元素都有有限階。

例如，群 \(Z_n^ \times = \{ a \in \{ 0, 1, \cdots, n-1 \} \mid \gcd(a, n) = 1 \}\) 的階為 \(\varphi(n)\)，其中元素 \(x\) 的階為滿足 \(x^r \equiv 1 \pmod n\) 的最小正整數 \(r\)（這正是數論中 \(x\) 模 \(n\) 的階）。

拉格朗日定理：如果 \(H\) 是 \(G\) 的子群，那麼 \(\lvert G \rvert = [G : H] \lvert H \rvert\)。

證明的簡要思路是：（左/右）陪集大小等於子群大小；而每個陪集要麼不相交要麼相等，且所有陪集的並是集合 \(G\)；那麼陪集數就等於 \(G\) 與 \(H\) 的階之比。

由拉格朗日定理可立即得到：群中任意一個元素的階，一定整除群的階。

如果群 \(G\) 中存在兩個元素 \(a\)、\(b\) 的階 \(m\)、\(n\) 互素，那麼 \(a^sb^t=e\) 當且僅當 \(a^s=e\) 並且 \(b^t=e\)。

???+ note "證明"

顯然，在 $a^sb^t=e$ 成立的情況下，$a^s=e$ 和 $b^t=e$ 等價，所以不成立只能同時不成立。

反證法。如果 $a^sb^t=e$，但是兩個部分 $a^s$、$b^t$ 都不是單位元，那麼 $e=a^sm=b^{-tm}$。因為 $\gcd(-m,n)=1$，根據裴蜀定理或者乘法逆元，可以去掉 $-m$，得到 $e=b^t$，矛盾。

???+ note "有關階的常見誤區"

1.  群 $G$ 的階一定等於其中所有元素階的最大值（或 $\operatorname{lcm}$）。  
    反例：二面體群 $D_4$（相當於群 $(\{0, 1, 2, 3\}, \oplus)$，其中 $\oplus$ 表示異或）的階是 $4$，但是除了 $e$ 的階為 $1$，其他元素的階都是 $2$。
2.  如果群 $G$ 中存在兩個元素 $x_1$、$x_2$ 的階是 $d_1$、$d_2$，那麼 $G$ 中一定存在階為 $d=\operatorname{lcm}(d_1,d_2)$ 的元素。  
    反例：對稱群 $S_3$（相當於 $X = \{1, 2, 3\}$ 的置換群）中存在階為 $2$ 和 $3$ 的元素，卻不存在階為 $6$ 的元素。

生成元

對於群G（R，+），存在最少數量的元素a∈G，僅僅透過a+a+……+a就可以對映到G中所有的元素，那麼a就是群G（R，+）的生成元

群中元素可以由最小數目個群元的乘積生成，這組群元稱為該群的生成元

• 整數加法群(Z，+)的生成元是1和-1
• 有限群的生成元的選擇不唯一，但秩不變；生成元的數目為有限群的秩
• 大於1的正整數的基為全體素數，所有正整數都可以都可以分解成素數，但其不是群
• <G，*>是迴圈群群，任意群元素a稱為G的生成元

群的主要類別

置換群

置換群（Permutation group）是第一類被系統性研究的群。對給定的集合 \(X\)，\(X\) 到自身的一些置換集合 \(G\) 如果在複合運算和求逆運算下封閉，那麼稱 \(G\) 是一個作用於 \(X\) 上的群。詳細內容請看 置換群 章節。

迴圈群

迴圈群（cyclic group，記作 \(C_n\)）是最簡單的群。群 \(G\) 中任意一個元素 \(a\) 都可以表示為 \(a=g^k\)，其中 \(k\) 為整數。稱 \(g\) 為群 \(G\) 的生成元。

生成元 \(g\) 的階就是群 \(G\) 的階。

???+ note "證明"

記 $G$ 的單位元為 $e$。由於 $G$ 有限，對生成元 $g$ 不斷做冪運算，必然會在某時重複，即存在不同的整數 $i$ 和 $j$ 使得 $g^i=g^j$。兩邊同時去掉若干個 $g$ 就有非 $0$ 整數 $n$ 使得 $g^n=e$。顯然 $g^0=e$。

設生成元 $g$ 的階是 $d$。$G$ 中任意一個元素 $a$ 都可以表示為 $g$ 的冪，因此 $d$ 不可能小於 $m$。否則 $g$ 的冪當中出現 $d$ 個元素之後就回到了單位元 $e$，剩餘的元素就不能被 $g$ 的冪表示，矛盾。

同樣的，$d$ 也不可能大於 $m$。否則在前 $d$ 個 $g$ 的冪中就會出現重複，存在不同的整數 $i$ 和 $j$ 使得 $g^i=g^j$，再得到的 $g^n=e$，$n$ 介於 $0$ 和 $d$ 之間，就與 $d$ 的最小性矛盾。因此，$d=m$。證完。

階為 \(m\) 的有限迴圈群 \(G\) 同構於模 \(m\) 剩餘類對於加法構成的群 \(Z_m\)。

???+ note "證明"

構造對映 $f$：$Z_m→G$，$f(n)=g^n$，可見 $f$ 為雙射，並且對於任意的 $i$ 和 $j$，$f(i+j)=g^ig^j$。因此同構。證完。

矩陣群

矩陣群（Matrix group）或線性群（Linear group）是 \(G\) 是一個由給定 \(n\) 階可逆矩陣組成的集合，該矩陣在域 \(K\) 上在乘積和逆矩陣下閉合。這樣的群透過線性變換作用於 \(n\) 維向量空間 \(K^{n}\)。

矩陣群常見例子為 李群（Lie group）。

變換群

置換群和矩陣群是 變換群（Transformation group）的特例。

群作用於某個空間 \(X\) 並保留其固有結構。在置換群的情況下，\(X\) 是一個集合；對於矩陣群，\(X\) 是向量空間。變換群的概念與對稱群的概念密切相關：變換群通常由所有保持某種結構的變換組成。

抽象群

抽象群（Abstract group）通常透過生成器和關係來表示：

\[G=\langle S|R\rangle \]

抽象群主要來源是透過正規子群 \(H\) 構造群 \(G\) 的商群 \(G/H\)。如果群 \(G\) 是集合 \(X\) 上的置換群，則商群 \(G/H\) 不再作用於 \(X\)；但是抽象群的概念允許人們不必擔心這種差異。

參考資料與註釋

• Group (mathematics) - Wikipedia
• Group theory - Wikipedia
• Group - Wolfram MathWorld
• Visual Group Theory