群論
群的定義
我們稱一個集合 \(G\) 和一個二元運算子 \(\circ\) 構成的系統叫做「群」（Group） \((G, \circ)\)。
在數學和抽象代數中，「群論」主要是對「群」的研究。
一個群 \((G, \circ)\) 之所以是一個群，是因為其同時具有下面的性質：
- 封閉性：\(\forall a, b \in G\)，\(a \circ b \in G\)。
- 結合律：\(\forall a, b, c \in G\)，\((a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\)。
- 單位元：\(\exist e \in G\)，\(\forall a \in G\)，\(a \circ e = e \circ a = a\)。
- 逆元：\(\forall a \in G\)，\(\exist b \in G\)，\(a \circ b = b \circ a = e\)。此處稱 \(b = a ^ {-1}\)。
例如，整數群對加法構成一個群，實數域對加法和乘法也構成一個群。
群的衍生結構
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若 \((G, \circ)\) 滿足封閉性，結合律，則稱 \((G, \circ)\) 為一個半群（semigroup）。
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若 semigroup \((G, \circ)\) 同時具有單位元，則該群為么半群。
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若 group \((G, \circ)\) 同時滿足交換律，則稱 \((G, \circ)\) 為阿貝爾群（Abelian Group）。
環的定義
環（ring）是一個集合 \(R\) 以及對於該集合的兩個二元運算 \(\bullet, \circ\) 構成的代數結構。環需要滿足如下性質：
- \((R, \bullet)\) 構成阿貝爾群，其單位元記為 \(\dot e\)，其逆元記為 \(-a\)。
- \((R, \circ)\) 構成半群。
- 分配律：\(\forall a, b, c, \in R\)，\(a \circ (b \bullet c) = a \circ b \bullet a \circ c\) 成立。
研究環的主要稱為環論。
實數域，加法和乘法就是一個環。其中 $\bullet $ 對應 \(+\)，\(\circ\) 對應 \(\times\)。有時候我們也這麼稱呼 \(\bullet, \circ\)。
環的衍生結構
- 環 \(R\) 同時滿足交換律，則稱為交換環。
- 存在乘法單位元的環稱為么環。
群同態
某種函式 \(\varphi\)，用於關聯兩個群 \((G, \circ)\) 和 \((H, \bullet)\)。具體地，群同態指函式 \(\varphi\) 使得 \(\forall a, b \in G，\varphi(a \circ b) = \varphi(a) \bullet \varphi(b)\)。
子群
\((G, \circ)\) 子群（subgroup）指集合 \(H \subseteq G\)，且 \((H, \circ)\) 也為一個群。
子群檢驗法 可以檢驗對於集合 \(H \subseteq G\)，\((H, \circ)\) 是否是一個群：\(\forall g, h \in H, g ^ {-1} \circ h \in H\)。注意到這也是充要條件。
陪集
網上的解釋都很難理解的概念。
本質上是這樣一個東西：考慮 \((G, \circ)\) 的一個子群 \((H, \circ)\)，我們定義一種變換 \(\varphi：(H, \circ) \longrightarrow (H', \circ)\)。則 \(\varphi((H, 0))\) 就是 \(G\) 的一個陪集。
這個 \(\varphi\) 變換究竟是什麼呢？其實 \(\varphi\) 變換就是對於某個元素 \(g \in G\)，\((H, \circ) \longrightarrow (\{g \circ h\, | \,h \in H\}, \circ)\)。我們暫且乘這個變換為左乘，得到的群為左陪集。
同樣的，我們定義集合 \(\tilde{\varphi}\)：對於某個元素 \(g \in G\)，\((H, \circ) \longrightarrow (\{h \circ g\, | \,h \in H\}, \circ)\)。我們稱這個變換為右乘，得到的群為右陪集。
為了方便，我們將左乘寫作 \(gH\)，右乘寫作 \(Hg\)。
令 \([G : H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的左陪集數（等價與右陪集數）。