命題與定理

命題1 有限群是迴圈群當且僅當中有一個元素的階等於群的階
命題2 群的運算為乘法，設中元素的階為則對於正整數有
命題3 群的運算為乘法，設中元素的階為，則有
命題4 群中，若的階分別為且則的階等於
命題5 設是有限群，則中有一個元素的階是其他元素的階的倍數
定理1 設是有限群，如果對於任給的正整數方程在中的解的個數不超過，那麼是迴圈群
定理2 有限域的所有非零元組成的集合對於乘法成為一個群，且是迴圈群
定理3 設是大於1的整數，則為迴圈群當且僅當為下列情形之一：其中是奇素數，
命題6 設是到的一個群同構對映，則
(1)其中是的單位元
(2)
(3)a與或者同為無限階元素，或者它們的階相同
定理4 (1)任意一個無限迴圈群都與同構
(2)對於任意一個階迴圈群都與同構
(3)1階迴圈群都與加法群同構
定理5 設都是大於1的整數，則是迴圈群當且僅當與互素

例題

1.4.1證明定理：若是正整數，是與互素的整數，則其中是函式，即是與互素的不超過的正整數的個數。
特別的，若是素數，則得到小定理：
1.4.3群沒有非平凡子群的充分必要條件是或是素數階迴圈群
1.4.6如果有限群有唯一的極大子群，則是素數冪階迴圈群
1.4.7舉一個無限群的例子，它的任意階數不為1的子群都具有有限指數
1.4.8設是一個素數，則對於複數的乘法作成群。試證的任意真子群都是有限階的迴圈群。
1.4.9若群只有有限多個子群，則是有限群
1.4.10有理數加法群不是迴圈群，但它的任意有限生成的子群都是迴圈群。
1.4.11在階迴圈群中，對的每一個正因子階為的元恰好有個，其中是與互素且不超過的正整數的個數，由此證明等式
1.4.12設是一個階有限群，若對的每一個因子，中之多隻有一個階子群，則是迴圈群。
1.4.13群是迴圈群當且僅當的任一子群形如其中是非負整數。

參考文獻

馮克勤, 章璞. 近世代數三百題[M]. 高等教育出版社, 2010.