同構與同態
基本定義
設\(R\)和\(R'\)是兩個環，\(f\)是\(R\)到\(R'\)的一個對映，如果\(\forall a,b\in R\),均有:
\(f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b)\)
則稱\(f\)為從\(R\)到\(R'\)的同態對映
分類
若\(f\)為單射，稱\(f\)為單同態，\(R≌f(R)\),稱\(f\)將\(A\)同構嵌入到\(R'\)中。
若\(f\)為滿射，稱\(f\)為滿同態，記作\(R\sim^f R'\)
若\(f\)為雙射，則稱\(R\)與\(R'\)同構，記為: \(R≌R'\)
透過同構對映，可以將一個環嵌入到另一個環中。
例: 設\(f: Z→Zn\),\(f(m)=[m]\),則\(f\)是一個滿同態”。
零同態
定義對映\(f:x\to 0'\)\(\forall x \in R\) 則為同態，同態像為\(f(R)=\{0'\}\)
稱此同態為零同態，為任意兩個環之間都存在的一個同態。
同態核
\(R'\)的零元\(0'\)的全原像\(f^{-1}(0')\)稱為\(f\)的同態核
\[kerf = f^{-1}(0') = \{x \in R|f(x) = 0'\}
\]
同態核是\(R\)的一個理想，\(f\)是單同態的充要條件是 \(kerf = \{0\}\)