編者按：UCLA以電路方向的研究和教學聞名於世界，Behzad Razavi教授和Asad Abidi教授更是世界聞名的電路大師。UCLA的研究生課程模擬積體電路設計（EE215A）正是由Razavi和Abidi兩位大師輪流授課。我們整理了其中精華部分與大家分享:)
焦魔最近在橙縣爾灣實習，逍遙自在，樂不思蜀，已經不大想再回山雞村了！閒暇之餘，給大家帶來第六講——EKV模型（上）
說到MOS管的模型，大家應該並不陌生。針對不同的應用和需求，我們要選取相應合適的模型。比如在數位電路中，通常使用簡單的開關模型或電阻-電容（RC）模型。而在類比電路中，需要適用於不同偏置條件，不同頻率的模型，對於亞微米器件，還要考慮溝道長度調製、速度飽和等短溝道效應。在模擬軟體中採用的，主要是加州大學伯克利分校的一個研究小組發明的BSIM（Berkeley Short-channel IGFET Model）模型。在IC設計中，第一步往往是手算（hand calculation），而BSIM模型有上百個引數，因而我們再手算時往往會採用簡化的模型，其中大家最熟悉的莫過於平方率模型。但平方率模型有兩個主要的侷限之處，一是難以包括諸多短溝道效應，二是隻適用於MOS管偏置在強反型區（strong inversion）時的情況。在很多電路中，為了在相同的偏置電流下獲得更高的增益，或者在相同增益下減小功耗，MOS管常需要偏置在弱反型區和中反型區。因而，我們需要一個在強反型區（strong inversion）、中間反型區（moderate inversion）和弱反型區（weak inversion）連續準確，且能很好包含各種短溝道效應，有方便手算的模型。
目前流行的MOS管模型大致可分為兩類，一類是基於閾值電壓（Threshold Voltage-based）的模型，典型的代表為BSIM3和BSIM4，大家可以參閱Razavi的課本。它的一個典型特徵就是閾值電壓是Vsb的函式，以此來刻畫體效應。這一類模型在深亞微米工藝下有較大的侷限性。另一類基於電荷（Charge-based）的模型，其代表為BSIM6和EKV模型。BSIM6模型是現在模擬工具中的CMOS工藝的標準模型（2013年釋出）。而Abidi教授在課堂上講述的EKV模型，能夠在手算過程中提供很多設計指導。（EKV，由其三位發明者Enz，Krummenacher，Vittoz的名字首字母命名）
如下圖所示是一個NMOS的模型圖。MOS管是四端器件，包括源端（S）、漏端（D）、柵端（G）和襯底（B）。在標準CMOS工藝中，所有MOS管共用一個P型襯底，為了防止PN接面正偏，P型襯底一般接GND。Vs、VD、VG均相對於襯底電壓定義。源極和漏極完全對稱，逐漸增加柵極電壓，在器件表面會出現反型層，對於NMOS來說，反型層由電子組成。反型層非常薄，其厚度可以近似忽略不計（Charge-Sheet Approximation），因而在分析中我們採用簡單的一維模型。在圖中以源極為原點，由源極引向漏極畫出x軸。
如下圖所示，我們將座標為x處反型層的面電荷密度記為Qinv’(x)，該處的溝道電壓（相對於襯底）記為Vch(x)，
柵極、反型層和夾在中間的柵氧化層可以看出一個平行板電容器，則反型層面電荷密度與兩極板間的電壓的關係如下：
下面我們定義兩個重要的概念：夾斷電壓（Vp, pinch-off voltage）和閾值電壓（Vt0, threshold voltage）。在下圖中，源極和漏極保持等電位，這樣整個溝道的電勢相同。如果固定VG，當溝道電壓增加至Vp時，反型層電荷密度減為0；如果固定溝道電壓為0V，當VG減為Vt0時，反型層電荷密度減為0。這裡的閾值電壓Vt0是定義在整個溝道等電位且電位為0的條件下，因而是一個定值，與之形成對比，傳統模型中的閾值電壓VTH是Vsb的函式。另外值得注意的是，夾斷電壓Vp的定義不只在源極漏極等電位使才有效，只要溝道中某一點的電壓Vch(x)大於Vp，在該點處溝道就會被夾斷。
夾斷電壓和柵極電壓的關係如下圖所示，這種非線性是由反型層下方的勢壘電容Cdep的非線性造成的（在介紹MOS管電容模型時我們會詳細闡述）。為了簡化模型，通常用一條斜率為1/n的直線來近似，即Vp= (VG-Vt0)/n。在之後的計算中我們採用n = 1.5。注意：有的時候Vp與VG-Vt0的非線性關係會導致大訊號偏置電路無法工作，具體地說，就是我們會推出n既大於1，又小於1，說明聯立不等式無解。這個例子我們會在之後介紹偏置電路的時候舉一個例子。
根據以上的近似，可以畫出Qinv’和Vch的關係。當Vch= Vp時，溝道被夾斷，電荷密度為0；當Vch= 0時，Qinv’= Cox’*(VG – Vt0)。細心的童鞋們可能已經注意到，下圖的關係式與之前所列的平行班電容器的公式略有偏差，原因就是之前的公式是在忽略勢壘電容Cdep的效應，或者說在n= 1的條件下推出的。
有了上面的鋪墊，我們接下來推導電流的公式
將積分公式圖形化，即為計算下圖中梯形的面積，簡單直觀。這種圖形化的方法將是我們之後進行分析的主要武器！
可以將上面的電流公式拆分為兩部分：前向電流（IF,Forward Current）和後向電流（IR,Reverse Current），前向電流只受VG和VS的控制，後向電流只受VG和VD的控制
在下圖中，我們透過計算三角形和梯形面積的方式推匯出了MOS管在飽和區（SaturationRegion）和三極體區（TriodeRegion）的電流公式。當n= 1時，公式與平方律模型一致。
下面我們透過幾個例子來體會一下EKV模型的應用：
在下圖兩個電路中，(b)比(a)的柵極和源極電壓同時增加了Vs。我們可以透過比較三角形的面積來分析比較兩個電路中流過MOS管電流的大小。圖中黑色的三角形代表(a)中的電流，紅色陰影部分的三角形代表(b)中的電流，顯然黑色三角形面積更大，如果兩圖中的MOS管有相同的β，則知(a)中電流比(b)大。
如果用傳統模型分析，由於兩個電路中的MOS管VGS相同，而(b)中的VSB大於零，故(b)中MOS管的VTH更高，因而(VGS-VTH)更小，所以(b)中電流比(a)小。兩種模型能得到相同的定性的結論，但相比較而言，EKV模型更加直觀形象。
接下來我們再看看第二個例子。這是兩個串聯的MOS管，它們可以等效為一個新的MOS管。假設三個MOS管的寬度W都相同，又由於流過兩個串聯MOS管的電流相同，我們可以透過畫圖推出等效的MOS管的L3= L1 + L2。
由以上的例子可以看出，運用EKV模型，透過畫圖的方式可以很形象地進行大訊號的分析（在之後分析各種偏置電路以及差分對時我們會有更深刻的體會）。接下來我們要學習下MOS管的小訊號模型。與傳統模型不同的是，這裡把小訊號受控電流源分為了三部分，每一部分分別由vg,vs, vd獨立控制，對應了三個小訊號跨導gmg,gms, gmd。與三個受控電流源並聯的是描述溝道長度調製效應的電導gds，這一效應我們將在下一講中詳細闡述。
三個跨導的表示式我們可以在圖中透過計算矩形面積的方式推導而得：
與傳統小訊號模型不一樣的的地方：
傳統小訊號模型中受控源的控制電壓是相對於源端（S）的，這導致我們在做節點分析的時候需要把vgs這種電壓拆分成(vg-vs)，然後在等式兩邊移動，這樣經常會出錯，而且面試的時候會顯得非常慌亂。
EKV小訊號模型中受控源的控制電壓都是相對於襯底（B）電壓的，這樣的好處就是做節點分析的時候速度非常快，經常是可以直接看著MOS管的電路圖列出小訊號等式，不需要再畫一下小訊號模型，面試的時候可以從容不迫。
我們接下來還是透過兩個例子熟悉小訊號模型的應用：
第一個例子是一個簡單的源極跟隨器。由於是恆定電流源偏置，因此漏源交流電流恆為0。由此列式即可推出電壓增益的表示式。
第二個例子是一個源極負反饋的單級放大器。畫出小訊號模型後，我們可以輕鬆地推匯出該電路的電壓增益。
在下一講中，我們會詳細介紹MOS管在弱反型區的模型，並透過插補的方式推匯出我們需要一個在強反型區、中間反型區和弱反型區連續準確的模型。我們還會介紹兩個主要的短溝道效應——速度飽和效應和溝道長度調製效應。此外還會有MOS管的電容模型。大家敬請期待。