淺談 RMQ
비밀 인형극 II
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어느 한적한 마을 골목 안의 허름한 건물
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在某個僻靜村莊衚衕的破舊建築裡
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문을 열고 들어가면 작은 극장이 있죠
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開門進去便會見到一個小劇場
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솜씨 좋은 인형사가 연극을 마치고 떠나면
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一個手藝不錯的人偶師演完戲離開的時候
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인형들은 극장 창고 안에 남겨져있죠
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人偶們便會留在劇場的倉庫裡
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밤이 되어 극장 안에 사람이 사라질 때쯤
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每當夜幕降臨 人們離開劇場之時
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인형들은 조심 조심 혼자 움직이면서
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人偶們便會小心翼翼地開始行動
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"오늘도 수고 많았어, 파티를 시작해볼까"
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"今天也很辛苦了, 來開個派對吧"
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하며 아무도 없는 무대 위에 불을 밝히죠
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然後在無人的舞臺上點亮閃爍的燈光
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군악대 병정 인형이 두둠칫 하며 북을 울리면
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軍樂隊計程車兵人偶咚咚地敲著鼓
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다른 인형들은 리듬에 맞춰 춤추고 노래를 부르죠
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其他的人偶也在隨著節奏起舞歌唱
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라랏타 흥이 넘치는 이곳은 비밀 무도회
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啦啦噠 興致勃勃的這裡是場秘密舞會
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힘들었던 일들일랑 잠시 잊고 즐겨 볼까요?
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先暫時忘掉那些勞累的事來一起享受一下吧?
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라라랏탓타 어서 오세요 비밀의 인형극에
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啦啦啦噠噠 歡迎來到這場秘密人偶劇
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그댈 얽매는 모든 것을 두고 춤을 춰봐요
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在這裡放下束縛你的一切來盡情共舞吧
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그대가 어떤 존재였는지 누구도 묻지 않으니
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沒有人會詢問你到底是什麼樣的存在
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인형의 몸과 음악 위에 당신을 맡겨 보아요
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就將你自己託付給那人偶的身軀和音樂吧
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라라랏탓타 함께 불러요 비밀의 인형극
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啦啦啦噠噠 一起歌唱吧 就在這秘密人偶劇
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어느 한적한 마을 골목을 떠도는 작은 유령들
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在某個僻靜村莊衚衕裡遊蕩的小幽靈們
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갈곳 없는 망령들은 거리 곳곳을 헤맸죠
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那些無處可歸的亡靈們也在街上到處遊蕩
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삶에 미련이 남아 사라지지 못하는 그들은
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他們無法拋棄對生活的無盡嚮往
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작은 극장 한켠의 인형 속에 숨어버렸죠
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便都藏在了小劇場的人偶裡
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밤이 되어 극장 안에 사람이 사라질 때쯤
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每當夜幕降臨 人們離開劇場之時
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인형들은 조심 조심 각자 움직이면서
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人偶們便會小心翼翼地開始行動
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"춤추고 놀다 보며는 미련을 잊을 수 있어"
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"只要盡情地跳舞玩耍就能夠忘記對生活的嚮往"
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하며 밤마다 그들만의 작은 축제를 열죠
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於是每天晚上都會舉行他們自己的小慶典
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인형의 몸이 불편해 발이 꼬이고 넘어져도
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就算人偶的身體不好使 扭到腳便會摔倒
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다른 이들과 함께한다면 그마저 즐거운 일이죠
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但倘若能與他人共度時光 也會是很愉快的事啊
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라랏타 흥이 넘치는 이곳은 인형 무도회
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啦啦噠 興致勃勃的這裡是場秘密舞會
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힘들었던 일들일랑 잠시 잊고 즐겨 볼까요?
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先暫時忘掉那些勞累的事來一起享受一下吧?
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라라랏탓타 어서 오세요 비밀의 인형극에
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啦啦啦噠噠 歡迎來到這場秘密人偶劇
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그댈 얽매는 모든 것을 두고 춤을 춰봐요
-
在這裡放下束縛你的一切來盡情共舞吧
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그대가 어떤 존재였는지 누구도 묻지 않으니
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沒有人會詢問你到底是什麼樣的存在
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인형의 몸과 음악 위에 당신을 맡겨 보아요
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就將你自己託付給那人偶的身軀和音樂吧
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라라랏탓타 밤이 끝나고 태양이 떠오르면
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啦啦啦噠噠 夜晚消逝 太陽又照常升起
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파티는 막을 내리고 인형은 멈추겠지만
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派對會落下帷幕 人偶也會逐漸停下來
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그대가 가진 아픈 기억을 조금이라도 덜어냈다면
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但若能從痛苦的記憶中抹除一些的話
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내일 밤에도 찾아오기를 기대해도 되겠죠?
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也很期待你明天晚上還會再來吧?
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라라랏탓타 함께 불러요 비밀의 인형극
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啦啦啦噠噠 一起歌唱吧 就在這秘密人偶劇
考慮優秀的複雜度演算法。
四毛子：
大體分為四步：
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建立笛卡爾樹，複雜度 \(O(n)\)。
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維護一個以尤拉序為下標深度為值的陣列，複雜度 \(O(n)\)。
考慮性質，發現相鄰兩個之間的差之多為一，問題變成了 \(\pm1\) RMQ，考慮維護。
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將原序列分塊，塊長為 \(\log(n)\)，對於每塊求出最值，前字尾最值，塊間用 ST 表維護，複雜度 \(O(n)\)，於是我們可以 \(O(1)\) 查詢端點在不同塊之間的詢問。
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考慮端點在同一塊的詢問，發現對於一個左端點固定的長度至多為 \(\log(n)\) 的序列，其至多有 \(\sum\limits_{i=1}^{\log(n)} 2^{i-1} \le n\) 種方案，所以暴力預處理出所有情況，預處理塊間差分，每次查表即可。複雜度 \(O(n)+O(1)\)
發現其實現難度和程式碼常數過於巨大，於是有了一下簡單做法。
二毛子：
名字取自 P3793 由乃救爺爺 的一篇題解。
考慮直接去掉四毛子的前兩步，考慮維護塊間。
其實直接再上一個 ST 表就可以做到 \(O(n\log\log n)+O(1)\) 的，常數也不小，但是實現難度大大降低。
發現長度 \(\log n\) 一般不會超過 \(64\)，考慮狀壓。
具體的，用單調棧維護最值，用 unsigned long long 壓棧內元素狀態，查詢時用位運算拆掉 \(<l\) 做 \(lowbit\) 即可。
複雜度依然是 \(O(n)+O(1)\)，並且因為位運算和 \(n\) 的大小的原因，常數巨小。
然而還有一種暴力：
對於塊內的詢問直接暴力，發現其基本不會落在這個區間，也可以透過微調塊長來避免。
既然暴力就暴力到底，直接每 \(\sqrt{n}\) 分一塊，每次直接暴力即可，期望是 \(O(n)+O(1)\) 的，透過微調塊長依然不太會被卡，常數也很小。
放一下由乃救爺爺的程式碼，均沒卡常：
暴力分塊 17.12 s
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using llt=long long;
using llf=long double;
using ull=unsigned long long;
#define endl '\n'
#ifdef LOCAL
FILE *InFile=freopen("in_out/in.in","r",stdin),*OutFile=freopen("in_out/out.out","w",stdout);
#else
FILE *InFile=stdin,*OutFile=stdout;
#endif
namespace GenHelper{
unsigned z1,z2,z3,z4,b;
unsigned rand_(){
b=((z1<<6)^z1)>>13; z1=((z1&4294967294U)<<18)^b;
b=((z2<<2)^z2)>>27; z2=((z2&4294967288U)<<2)^b;
b=((z3<<13)^z3)>>21; z3=((z3&4294967280U)<<7)^b;
b=((z4<<3)^z4)>>12; z4=((z4&4294967168U)<<13)^b;
return (z1^z2^z3^z4);
}
}
void srand(unsigned x){using namespace GenHelper;z1=x; z2=(~x)^0x233333333U; z3=x^0x1234598766U; z4=(~x)+51;}
int read(){
using namespace GenHelper;
int a=rand_()&32767;
int b=rand_()&32767;
return a*32768+b;
}
const int N=2e7+3,L=4480;
int n,m,s,c[N],id[N],bg[L],ed[L],cma[L][L],pm[N],nm[N],bl,B; unsigned long long ans;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
cin>>n>>m>>s; srand(s); B=max(2,int(sqrt(n)));
bg[++bl]=1; for(int i=1;i<=n;++i) c[i]=read(),((i%B==0)&&(ed[bl]=i-1,bg[++bl]=i)),id[i]=bl; ed[bl]=n;
for(int i=1;i<=bl;++i){
int ma=0; for(int j=bg[i];j<=ed[i];++j) ma=max(ma,c[j]),pm[j]=ma;
ma=0; for(int j=ed[i];j>=bg[i];--j) ma=max(ma,c[j]),nm[j]=ma;
cma[i][i]=ma;
}
for(int i=1;i<=bl;++i){
int ma=cma[i][i];
for(int j=i-1;j;--j) ma=max(ma,cma[j][j]),cma[j][i]=ma;
}
for(int i=1;i<=m;++i){
int l=read()%n+1,r=read()%n+1; if(l>r) swap(l,r);
if(id[l]==id[r]){
int ma=0; for(int i=l;i<=r;++i) ma=max(ma,c[i]);
ans+=ma;
}else ans+=max({cma[id[l]+1][id[r]-1],nm[l],pm[r]});
}
cout<<ans<<endl;
}
狀壓 11.24 s
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using llt=long long;
using llf=long double;
using ull=unsigned long long;
#define endl '\n'
#ifdef LOCAL
FILE *InFile=freopen("in_out/in.in","r",stdin),*OutFile=freopen("in_out/out.out","w",stdout);
#else
FILE *InFile=stdin,*OutFile=stdout;
#endif
namespace GenHelper{
unsigned z1,z2,z3,z4,b;
unsigned rand_(){
b=((z1<<6)^z1)>>13; z1=((z1&4294967294U)<<18)^b;
b=((z2<<2)^z2)>>27; z2=((z2&4294967288U)<<2)^b;
b=((z3<<13)^z3)>>21; z3=((z3&4294967280U)<<7)^b;
b=((z4<<3)^z4)>>12; z4=((z4&4294967168U)<<13)^b;
return (z1^z2^z3^z4);
}
}
void srand(unsigned x){using namespace GenHelper;z1=x; z2=(~x)^0x233333333U; z3=x^0x1234598766U; z4=(~x)+51;}
int read(){
using namespace GenHelper;
int a=rand_()&32767;
int b=rand_()&32767;
return a*32768+b;
}
const int N=2e7+3,B=64,L=N/B+3;
#define id(p) (p+63>>6)
#define bl(i) (i-1<<6|1)
#define br(i) (i<<6)
int n,m,s,c[N],pm[N],nm[N],bln; unsigned long long ans,sta[N];
class St{
private: const static int LG=19; int o[LG+3][L];
public:
int &operator[](int p){return o[0][p];}
void In(int l){for(int i=1;i<=LG;++i) for(int j=1;j+(1<<i)-1<=l;++j) o[i][j]=max(o[i-1][j],o[i-1][j+(1<<i-1)]);}
int operator()(int l,int r){if(l>r) return 0; int k=__lg(r-l+1); return max(o[k][l],o[k][r-(1<<k)+1]);}
}st;
void In(){
int stk[N],*top;
for(int i=1;i<=bln;++i){
int ma=0; for(int j=bl(i);j<=br(i);++j) ma=max(ma,c[j]),pm[j]=ma;
ma=0; for(int j=br(i);j>=bl(i);--j) ma=max(ma,c[j]),nm[j]=ma;
st[i]=ma; top=stk;
for(int j=bl(i);j<=br(i);++j){
if(j!=bl(i)) sta[j]=sta[j-1];
while(top!=stk&&c[*top]<=c[j]) sta[j]^=1ull<<(*top--)-bl(i);
*++top=j,sta[j]|=1ull<<j-bl(i);
}
} st.In(bln);
}
int Ma(int l,int r){
int il=id(l),ir=id(r);
if(il==ir) return c[l+__builtin_ctzll(sta[r]>>l-bl(il))];
else return max({st(il+1,ir-1),nm[l],pm[r]});
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
cin>>n>>m>>s; srand(s);
for(int i=1;i<=n;++i) c[i]=read(); bln=id(n),In();
for(int i=1;i<=m;++i){int l=read()%n+1,r=read()%n+1; if(l>r) swap(l,r); ans+=Ma(l,r);}
cout<<ans;
}
Kaguya 和 critno 他們好像搞了個支援修改的，但是做法過於優秀，感覺只有 YY 的作用了。
P
