Re:End of a dream
鞅的停時定理
感覺學起來還挺簡單的，就是有太靈活逆天的式子。
這裡不放鞅的定義了，可以看 百度百科
這裡指的是連續鞅。
停時定理：
若滿足一下三個條件之一：
則有：
其實對於這個用的不多，一般會用勢能形式，條件也一般都會滿足。
但也有用這個簡單的。
勢能形式：
考慮對於每個狀態 \(A_i\)，設終狀態為 $A_{\gamma}，構造勢能函式 \(\phi\)，使其滿足 \(E\{\phi(A_{n+1}-A_n)\mid A_n...A_1\}=-1\)，並且 \(E(\phi(A_{\gamma}))\) 唯一確定。
然後就可一用 \(E(\phi(A_{\gamma}))-E(\phi(A_{begin}))\) 求期望步數。
其實有更嚴謹的表達，但卵用沒有。
困難的就是構造勢能函式，給幾個例題：
CF1025G Company Acquisitions
你們模擬賽出這個防 AK 是吧
狀態顯然。
考慮一個局面，只和一個每個根的子樹個數有關，考慮依此構造每個子樹的勢 \(f(x)\)，表示子樹有 \(x\) 個節點的勢，整個狀態的勢就是 \(\phi=\sum f\)
考慮每次的轉移，我們可以直接考慮欽定兩個點，每個都有 \(\frac 12\) 的機率是另一個父親，設這兩個點分別為 \(x,y\)，有：
因為我們想得到一些嚴格的關係，不妨將條件適當嚴格化，並欽定常量 \(f(0)=0\)，則有：
然後就可以直接 \(O(n)\) 求每個了，發現其滿足條件，可以作差。
CF1349D Slime and Biscuits
和剛才那個很像，但是發現沒法欽定，只能直接列舉和式。
直接考慮每個被選中的機率，可以有和式（太長了我不放了，賣個萌能放過我嗎 QwQ）
考慮還是將條件嚴格化，直接去掉和式，對於第 \(i\) 項欽定其值是 \(-\frac xm\)，然後就有遞推式子了。
放個題解吧，要是覺得我講的太爛了可以去看 luogu
最後有一個好玩的題：P4548 [CTSC2006] 歌唱王國
這個就是用停時定義比勢能簡單的例子。
有形象講法：
考慮在每次唱歌錢有一個賭徒初始有一個硬幣來按照酋長名字順序依次賭唱 \(a_i\)，如果贏了獲得 \(n\) 倍硬幣並繼續賭，輸了全賠。
考慮最後一定是剩下一個人賭完了，每個 \(border\) 都會有一個人還在，其他人都輸完了。
考慮公平遊戲出入平衡，可以賭徒期望得錢數 \(\sum l_i^n\)，\(l\) 是每個 \(border\) 長度（算原串），也就是期望輪數。
證明就是直接對剛才的局面建鞅，顯然鞅之和是鞅，考慮前後期望一樣即可。
當然也可以用勢能函式做
圖
