斐波那契數列的第N項（1≤n≤10^18 矩陣快速冪）

kewlgrl發表於2016-08-01
矩陣
1242 斐波那契數列的第N項
基準時間限制：1 秒 空間限制：131072 KB 分值: 0 難度：基礎題
斐波那契數列的定義如下：

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)
給出n，求F(n)，由於結果很大，輸出F(n) % 1000000009的結果即可。
Input
輸入1個數n(1 <= n <= 10^18)。
Output
輸出F(n) % 1000000009的結果。
Input示例
11
Output示例
89

下圖引自知乎專欄

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#define INF 0xfffffff
using namespace std;
const int N=2;
const long long mod=1000000009;
struct Mat
{
    long long v[N][N];
};
Mat matrix_mul(Mat A,Mat B,long long m)
{
    Mat ans;
    for(int i=0; i<N; i++)
        for(int j=0; j<N; j++)
        {
            ans.v[i][j]=0;
            for(int k=0; k<N; k++)
                ans.v[i][j]+=(A.v[i][k]*B.v[k][j])%m;
            ans.v[i][j]=ans.v[i][j]%m;
        }
    return ans;
}
Mat power(Mat A,long long n,long long m)
{
    Mat ans= {1,1,1,0};
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans=matrix_mul(ans,A,m);
        A=matrix_mul(A,A,m);
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    long long n;
    cin>>n;
    Mat C= {1,1,1,0};
    if(n<2)  puts("1");
    else
    {
        Mat ans=power(C,n-2,mod);//矩陣快速冪
        cout<<ans.v[0][0]<<endl;
    }
    return 0;
}


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