CF 2001 E2 solution (967 Div.2)

CF 2001 E2

由於對稱，所以設 \(heap[u]\) 為兩次確定堆，且第一次彈出的是 \(u\)，\(heap[u,v]\) 是第一次 \(u\) ，第二次 \(v\)

則答案就是 \(\sum heap[u]=2^{n-1}·heap[x]\)

其中 \(x\) 任意。

不妨我們考慮第一次都是從第一個葉子彈出，那麼對於其他不同的第二個彈出的點，根據對稱性顯然有如下性質：

\(LCA(u,v_1)=LCA(u,v_2)\implies heap[u,v_1]=heap[u,v_2]\)

而經過手玩一下關係，可以發現：

也就是設 \(L_1,R_1\) 是兩個葉子的 \(LCA\) 的左右兒子，\(l,r\) 是 \(L_1\) 的左右兒子（圖稍微畫錯了點）

容易得到：

\[\begin{cases} l+r\le L_1\\ r<l<R_1<L_1 \end{cases} \]

而對於更上層的點，還是設當前點左右兒子是 \(L_1,R_1\)，\(L_1\) 的兒子是 \(l,r\)，則有：

\[\begin{cases} l+r\le L_1\\ l> R_1\\ r<l\\ R_1<L_1\\ \end{cases} \]

由 E1，我們求出了 \(f_{i,j}\)：高為 \(i\) 的堆，操作 \(j\) 次，只彈出第一個葉子的方案數，以及 \(g_{i,j}\)：操作 \(j\) 次的總局面個數

借用一張官解的圖

我們會發現 \(L,R\to L'\) 的時候，\(R\) 是普通子樹，而 \(R'\) 是一顆滿足彈一次合法的子樹。

所以 \(L'\) 的方案數可以由符合條件的 \(L,R\)，\(f_{L}·g_R\) 構成，而總的方案數需要再用 \(f_{R'}\) 進行合併。

而用 \(f_{R'}\) 合併的時候要乘上 \(2^{h-2}\) 因為葉子任選其一。

而也有可能自身不是 \(LCA\)，往上更新的時候直接算就行了，注意要拼上一個普通二叉堆個數。

所以可以設 \(dp_{h,l,r}\) 為高為 \(h\) 的樹，左子樹權值 \(l\)，右子樹權值為 \(r\) 的方案數。

那麼有：

\[dp_{h,L_1,R_1}=\sum_{l=0}^{R_1-1}\sum_{r=0}^{\min(l-1,L_1-l)}f_{h-2,l}·g_{h-2,r}·f_{h-1,R_1}·2^{h-2}+\sum_{l=R_1+1}^{L_1-1}\sum_{r=0}^{\min(l-1,L_1-l)}dp_{h-1,l,r}·g_{h-1,R_1} \]

可以利用字首和最佳化到 \(O(nk^2)\)，例如前半部分，可以設 \(S_{x,y}=\sum_{l,r}f_{h-2,l}·g_{h-2,r}·[l+r=x][l=y][l>r]\)，先做 \(y\) 這一維的字首和，再做 \(x\) 這一維的字首和即可。

後半部分同理。

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