先擴充一個之前講過的模型的性質
對於一個編號在\([0,n)\)的環（順時針編號），從編號為\(x\)的點開始順時針跳，每次跳\(k\)步，那麼最終經過的點一共有\(\frac{n}{d}\)個（其中\(d=\gcd(n,k)\)），如果我們將這\(\frac{n}{d}\)個點按照編號順序排成一個圓（不是按經過的順序），那麼相鄰兩個點之間的距離為\(d\)
證明：顯然將這\(\frac{n}{d}\)個點按照編號順序排成一個圓後，這個圓的總長度為\(n\)（相鄰兩點之間的距離為兩點編號差的絕對值）。考慮每個點的編號的形式，為\(x+t_1k-t_2n\)，因為是從\(x\)每次跳\(k\)步，當跳過\(n\)時就要減去\(n\)，所以編號的形式就是\(k,n\)的線性組合。故編號可以寫作\(x+td\)，也就是說相鄰兩個點的距離是\(d\)的倍數，至少為\(d\)；而總長度為\(n\)，當且僅當任意相鄰兩個點之間的距離為\(d\)才為\(n\)（否則的話會更大），證畢
有了這個性質，我們就可以知道，原圖一共被分成了\(d\)個環，每個環的起點為\(x,x+1,x+2,...,x+d-1\)
現在我們考慮Burnside引理，假設我們現在已經獲得了\(S\)（也就是滿足題意的所有塗色方案），置換群\(G\)即順時針旋轉\(0,1,2,...,n-1\)步，我們現在要求的就是\(|S/G|\)，只需要求\(|S^g|\)
現在我們考慮對於一個固定的\(g\)（也就是每次跳的步數\(k\)已經知道了），那麼根據上面的結論，我們只用考慮\(0,1,2,...,d-1\)這\(d\)個點構成的環滿足題意的塗色方案一共有多少種就好了
為什麼這裡不能用Polya定理：Polya定理的內容就是\(|B^{c(g)}|=|S^g|\)，可以想一下這個為什麼成立，主要原因還是因為各個迴圈置換之間互不影響，所以可以任意塗色；而這裡顯然是會互相影響的，所以只能用Burnside引理
計算\(d\)個點構成的環滿足題意的塗色方案一共有多少種：很顯然的環形DP，但是這裡時間複雜度卡的比較緊，如果採用容斥原理（即按照線形計算，最後強制第一個點和最後一個點塗相同顏色）的話會超時（因為你要列舉第一個點塗的顏色），此時有一個最佳化：不採用容斥原理，而是採用正面計算，將\(f\)從一維變成二維，\(\forall i∈[0,m),f[i][i]=1\)，這就是說第\(i\)個行向量表示第一個點只能塗第\(i\)種顏色，最後得到的陣列經過的時間為\(d+1\)（注意不是\(d\)，因為我們要求最後一個點和第一個點塗的顏色相同，這裡相當於斷環成鏈了），然後加上\(f\)的對角線就好了
計算完\(f\)後，我們還不能列舉\(g\)，因為\(n\)太大了，此時肯定只能列舉\(d\)，最後不難知道要計算\(\phi(\frac{n}{d})\)，這種計算約數的尤拉函式的技巧見這篇總結