**魔法塔之謎(9)**
――――斐波那契數列引出的難題
天津市武清區教育局 劉光路
(續上)
◆◆◆◆◆◆
（四）類自然數對稱魔法塔的製作方法
每一個3k項魔法塔數列，都只有一個對稱魔法塔。
1、用分段取數法制作類自然數對稱魔法塔
（1）將類自然數魔法塔數列分段
從首項開始，將類自然數魔法塔數列每3個數分為一段，3k項數列共分為k段。
①9數：1、-2、3、5、8、13、21、-34、55
分為3段：(1、-2、3)、(5、8、13)、(21、-34、55)
②9數：1、-2、3、5、8、13、21、34、-55
分為3段：(1、-2、3)、(5、8、13)、(21、34、-55)
（2）檢查每段中3個數之和，分2種情況：
①每段中有1個數等於另外2個數之和，這個數叫做平分數。
1=-2+3，13=5+8，21=-34+55
②每段中3個數之和為0。
1=-2+3，13=5+8，21+34-55=0
（3）製作第一層魔法塔
每段各取1個平分數，放在魔法塔的左邊，其餘數字放在右邊，即可製作出第一層魔法塔。
(1+13+21)|(-2+3+5+8-34+55)
（4）製作多層魔法塔。
第①種情況
以第一層魔法塔為基礎，製作多層魔法塔。
(1+13+21)|(-2+3+5+8-34+55)=
(1+13-34+55)|(-2+3+5+8+21)=
(1+5+8+21)|(-2+3+13-34+55)=
(1+5+8-34+55)|(-2+3+13+21)=
(35)|(35)
◆◆◆
第②種情況
先按照第①種情況製作多層魔法塔的左邊，再將3數之和為0的段新增在後面；其餘數字放在右邊。
(1+13)|(-2+3+5+8+21+34-55)=
(1+5+8)|(-2+3+13+21+34-55)=
(1+13+21+34-55)|(1-2+3+5+8)=
(1+5+8+21+34-55)|(-2+3+13)=
(14)|(14)
◆◆◆
2、分段取數法制作對稱魔法塔例項
例21：9數4層對稱魔法塔
數列：1、-2、3、5、-8、13、21、-34、55
(1+5+21)|(-2+3-8+13-34+55)=
(1+5-34+55)|(-2+3-8+13+21)=
(1-8+13+21)|(-2+3+5-34+55)=
(1-8+13-34+55)|(-2+3+5+21+55)=
(27)|(27)
◆◆◆
例22：12數8層對稱魔法塔
數列：1、-2、3、5、-8、13、21、-34、55、89、-144、233
(1+5+21+89)|(-2+3-8+13-34+55-144+233)=
(1+5-34+55+89)|(-2+3-8+13+21-144+233)=
(1-8+13+21+89)|(-2+3+5-34+55-144+233)=
(1-8+13-34+55+89)|(-2+3+5+21-144+233)=
(1+5+21-144+233)|(-2+3-8+13-34+55+89)=
(1+5-34+55-144+233)|(-2+3-8+13+21+89)=
(1-8+13+21-144+233)|(-2+3+5-34+55+89)=
(1-8+13-34+55-144+233)|(-2+3+5+21+89)=
(116)|(116)
◆◆◆
四、魔法塔的同位解
同位解是魔法塔的重要概念，下面舉例說明。
5數2層魔法塔
數列1：-1、2、3、5、8
(-1+8)|(2+3+5)=
(2+5)|(-1+3+8)=
(7)|(10)
◆◆◆
數列2：-1、2、-3、5、8
(-1+8)|(2-3+5)=
(2+5)|(-1-3+8)=
(7)|(4)
◆◆◆
觀察可知，上面的兩個魔法塔數列有以下特點：
（1）兩個魔法塔數列的項數相同
（2）兩個魔法塔的層數相同。
（3）數列1魔法塔各項數字與數列2魔法塔各項數字對應位置相同。
我們把具有以上3個特點的兩組魔法塔，叫做相同項數魔法塔數列的同位解。
如果兩個魔法塔數列是相似魔法塔數列，叫做相似魔法塔數列的同位解。
（一）自然數魔法塔同位解
例23：5數3層魔法塔2同位解
數列1：1、3、4、7、11
數列2：2、4、6、10、16
同位解1
(11)|(1+3+4+7)=
(4+7)|(1+3+11)=
(1+3+7)|(4+11)=
(1)|(15)
◆◆◆
同位解2
(16)|(2+4+6+10)=
(6+10)|(2+4+16)=
(2+4+10)|(6+16)=
(16)|(22)
◆◆◆
例24：6數2層對稱魔法塔2同位解
數列1：1、3、4、7、11、18
數列2：1、4、5、9、14、23
同位解1
(4+18)|(1+3+7+11)=
(1+3+18)|(4+7+11)=
(22)|(22)
◆◆◆
同位解2
(5+23)|(1+4+9+14)=
(1+4+23)|(5+9+14)=
(28)|(28)
◆◆◆
（二）、類自然數魔法塔同位解
例25：5數2層魔法塔4同位解
數列1：1、-2、3、5、-8
數列2：1、-2、3、-5、-8
數列3：1、-2、3、5、8
數列4：1、-2、3、-5、8
同位解1
(1)|(-2+3+5-8)=
(-2+3)|(1+5-8)=
(1)|(-2)
◆◆◆
同位解2
(1)|(-2+3-5-8)=
(-2+3)|(1-5-8)=
(1)|(-12)
◆◆◆
同位解3
(1)|(-2+3+5+8)=
(-2+3)|(1+5+8)=
(1)|(14)
◆◆◆
同位解4
(1)|(-2+3-5+8)=
(-2+3)|(1-5+8)=
(1)|(4)
◆◆◆
例26：6數3層魔法塔2同位解
數列1：1、2、3、5、8、13
數列2：1、-2、-3、-5、-8、-13
同位解1：
(13)|(1+2+3+5+8)=
(5+8)|(1+2+3+13)=
(2+3+8)|(1+5+13)=
(13)|(19)
◆◆◆
同位解2：
(-13)|(1-2-3-5-8)=
(-5-8)|(1-2-3-13)=
(-2-3-8)|(1-5-13)=
(-13)|(-17)
◆◆◆
例27：7數4層魔法塔2同位解
數列1：1、2、3、5、8、13、21
數列2：- 1、-2、-3、5、8、13、21
同位解1：
(3+21)|(1+2+5+8+13)=
(1+2+21)|(3+5+8+13)=
(3+8+13)|(1+2+5+21)=
(1+2+8+13)|(3+5+21)=
(24)|(29)
◆◆◆
同位解2：
(-3+21)|(-1-2+5+8+13)=
(-1-2+21)|(-3+5+8+13)=
(-3+8+13)|(-1-2+5+21)=
(-1-2+8+13)|(-3+5+21)=
(18)|(23)
◆◆◆
（三）、對稱魔法塔的同位解
3k項魔法塔數列之和不等於0時，對稱魔法塔共有2(k-1)層2(k-1)個同位解。
3k項魔法塔數列之和等於0時，對稱魔法塔共有2(k-1)-1層2(k-1)個同位解。
3k項魔法塔同位解共有4k種型別，分3種情況。
（1）若將3k項魔法塔數列分段後，k段之和都不等於0；則魔法塔同位解的答案不會出現重複數字，共有3k種型別（簡稱3k組）。
（2）若將3k項魔法塔數列分段後，k段之和都等於0；則魔法塔同位解的答案是0，只有1種型別。
（3）若將3k項魔法塔數列分段後，有些段之和等於0，有些段之和不等於0；則魔法塔同位解的答案會出現重複數字，共有(4k-3k-1)種型別。
（4）同位解的個數
將3k項魔法塔數列分段後，每段有4種型別（每段之和不等於0的有3種型別，每段之和等於0的有1種型別），共有k段，總共有4k種型別。按照二項式定理將(3+1)k展開，展開式中不含1的項是第（1）種情況，含有1的項是第（2）、（3）種情況；展開式中1的係數表示該型別有多少個；用2(k-1)，除以2m，（m表示1的指數），就是該型別同位解答案的數字個數。
根據，(3+1)2=32+2×3×1+12=9+6×1+12
立刻知道，6數2層對稱魔法塔2個同位解的答案共有16組。其中，有9組出現2個不同數字、有6組出現1個數字，有1組答案是0（1層）。
就是說，6數對稱魔法塔，總共16組。每段都不含0的9組（2層2個同位解），含1個0的6組（2層2個同位解），含2個0的1組（1層2個同位解）。
根據，(3+1)3=33+3×32×1+3×3×12+13
=27+27×1+9×12+13
立刻知道，9數4層對稱魔法塔4個同位解的答案共有64組。其中，有27組出現4個不同數字、有27組出現2個不同數字、有9組出現1個數字、有1組答案是0（3層）。
根據，(3+1)4=34+4×33×1+6×32×12+4×3×13+14
=81+108×1+54×12+12×13+14
立刻知道，12數8層對稱魔法塔8個同位解的答案共有256組。其中，有81組出現8個數字、有108組出現4個數字、有54組出現2個數字、有12組出現1個數字、有1組答案是0（7層）。
例28：9數4層魔法塔4個同位解
（1段數字之和等於0，答案出現2個數字：56、-54）
數列1：1、-2、3、-5、-8、13、21、34、55
數列2：1、-2、3、5、8、-13、21、34、55
數列3：1、-2、3、-5、-8、13、-21、-34、-55
數列4：1、-2、3、5、8、-13、-21、-34、-55
同位解1：
(1+55)|(-2+3-5-8+13+21+34)=
(1+21+34)|(-2+3-5-8+13+55)=
(1-5-8+13+55)|(-2+3+21+34)=
(1-5-8+13+21+34)|(-2+3+55)=
(56)|(56)
◆◆◆
同位解2：
(1+55)|(-2+3+5+8-13+21+34)=
(1+21+34)|(-2+3+5+8-13+55)=
(1+55)|(-2+3+5+8-13+21+34)=
(1+21+34)|(-2+3+5+8-13+55)=
(56)|(56)
◆◆◆
同位解3：
(1-55)|(-2+3-5-8+13-21-34)=
(1-21-34)|(-2+3-5-8+13-55)=
(1-5-8+13-55)|(-2+3-21-34)=
(1-5-8+13-21-34)|(-2+3-55)=
(-54)|(-54)
◆◆◆
同位解4：
(1-55)|(-2+3+5+8-13-21-34)=
(1-21-34)|(-2+3+5+8-13-55)=
(1+5+8-13-55)|(-2+3-21-34)=
(1+5+8-13-21-34)|(-2+3-55)=
(-54)|(-54)
◆◆◆
例29：9數4層魔法塔4個同位解
（2段數字之和等於0，答案出現1個數字：3）
數列1：1、2、3、5、8、-13、21、34、-55
數列2：1、2、3、5、8、-13、-21、-34、55
數列3：1、2、3、-5、-8、13、21、34、-55
數列4：1、2、3、-5、-8、13、-21、-34、55
同位解1：
(3)|(1+2+5+8-13+21+34-55)=
(3+5+8-13)|(1+2+21+34-55)=
(3+21+34-55)|(1+2+5+8-13)=
(3+5+8-13+21+34-55)|(1+2)=
(3)|(3)
◆◆◆
同位解2：
(3)|(1+2+5+8-13-21-34+55)=
(3+5+8-13)|(1+2-21-34+55)=
(3-21-34+55)|(1+2+5+8-13)=
(3+5+8-13+21+34-55)|(1+2)=
(3)|(3)
◆◆◆
同位解3：
(3)|(1+2-5-8+13+21+34-55)=
(3-5-8+13)|(1+2+21+34-55)=
(3+21+34-55)|(1+2-5-8+13)=
(3-5-8+13+21+34-55)|(1+2)=
(3)|(3) 
◆◆◆
同位解4：
(3)|(1+2-5-8+13-21-34+55)=
(3-5-8+13)|(1+2-21-34+55)=
(3-21-34+55)|(1+2-5-8+13)=
(3-5-8+13-21-34+55)|(1+2)=
(3)|(3) 
◆◆◆
例30：9數3層魔法塔4個同位解
（3段數字之和等於0，答案出現1個數字：0）
數列1：1、2、-3、5、8、-13、21、34、-55
數列2：1、2、-3、-5、-8、13、21、34、-55
數列3：1、2、-3、5、8、-13、-21、-34、55
數列4：1、2、-3、-5、-8、13、-21、-34、55
同位解1：
(1+2-3)|(5+8-13+21+34-55)=
(5+8-13)|(1+2-3+21+34-55)=
(21+34-55)|(1+2-3+5+8-13)=
(0)|(0)
◆◆◆
同位解2：
(1+2-3)|(-5-8+13+21+34-55)=
(-5-8+13)|(1+2-3+21+34-55)=
(21+34-55)|(1+2-3-5-8+13)=
(0)|(0)
◆◆◆
同位解3：
(1+2-3)|(5+8-13-21-34+55)=
(5+8-13)|(1+2-3-21-34+55)=
(-21-34+55)|(1+2-3+5+8-13)=
(0)|(0)
◆◆◆
同位解4：
(1+2-3)|(-5-8+13-21-34+55)=
(5+8-13)|(1+2-3-21-34+55)=
(-21-34+55)|(1+2-3-5-8+13)=
(0)|(0)
◆◆◆◆◆◆
(待續)

魔法塔之謎(9)

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