** 魔法塔之謎**(5)
――――斐波那契數列引出的難題
天津市武清區教育局   劉光路
(續上)
◆◆◆◆◆◆
（四）最高層魔法塔的製作
最高層魔法塔，可用遞推法制作。
1、奇數項最高層魔法塔的製作
奇數項最高層魔法塔的製作分2種情況
第1種情況：5、9、13、17、21……，4k+1項
遞推公式為：P(4k+1)=a5+a9+a13+a17+……+a(4k+1)
P(4k+1)表示魔法塔左邊的數字之和，a(4k+1)表示第4k+1項數字。求出P，根據P+Q=Sn，立刻知道Q。
例7：9數8層魔法塔
數列：1、2、3、5、8、13、21、34、55
9=5+4，製作方法如下
第1步，用前5數製作3層魔法塔左邊
8
3+5
1+2+5
第2步，後5數製作3層魔法塔左邊
55
21+34
8+13+34
第3步，製作9數8層魔法塔左邊。
將前2步合併，每個數字只用一次。
8+55
3+5+55
1+2+5+55
8+21+34
3+5+21+34
1+2+5+21+34
3+5+8+13+34
1+2+5+8+13+34
注意，因為每個數字只用一次，8不能與8+13+34合併。
第4步，補齊右邊，即成9數8層魔法塔。
(8+55)|(1+2+3+5+13+21+34)=
(3+5+55)|(1+2+8+13+21+34)=
(1+2+5+55)|(3+8+13+21+34)=
(8+21+34)|(1+2+3+5+13++55)=
(3+5+21+34)|(1+2+8+13+55)=
(1+2+5+21+34)|(3+8+13+55)=
(3+5+8+13+34)|(1+2+21+55)=
(1+2+5+8+13+34)|(3+21+55)=
(63)|(79)
◆◆◆
第2種情況：3、7、11、15、19……，4k-1項
遞推公式為：P(4k-1)=a3+a7+a11+a15+……+a(4k-1)
P(4k-1)表示魔法塔左邊的數字之和，a(4k-1)表示第4k-1項數字。求出P，根據P+Q=Sn，立刻知道Q。
例8：11數13層魔法塔
數列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144
11=7+4，製作方法如下
第1步，用前7數製作5層魔法塔左邊
3+21
1+2+21
3+8+13
1+2+8+13
1+2+3+5+13
第2步，後5數製作3層魔法塔左邊
144
55+89
21+34+89
第3步，製作11數13層魔法塔左邊。
將前2步合併，每個數字只用一次。
3+21+144
1+2+21+144
3+8+13+144
1+2+8+13+144
1+2+3+5+13+144
3+21+55+89
1+2+21+55+89
3+8+13+55+89
1+2+8+13+55+89
1+2+3+5+13+55+89
3+8+13+21+34+89
1+2+8+13+21+34+89
1+2+3+5+13+21+34+89
第4步，補齊右邊，即成11數13層魔法塔。
(3+21+144)|(1+2+5+8+13+34+55+89)=
(1+2+21+144)|(3+5+8+13+34+55+89)=
(3+8+13+144)|(1+2+5+21+34+55+89)=
(1+2+8+13+144)|(3+5+21+34+55+89)=
(1+2+3+5+13+144)|(8+21+34+55+89)=
(3+21+55+89)|(1+2+5+8+13+34+144)=
(1+2+21+55+89)|(3+5+8+13+34+144)=
(3+8+13+55+89)|(1+2+5+21+34+144)=
(1+2+8+13+55+89)|(3+5+21+34+144)=
(1+2+3+5+13+55+89)|(8+21+34+144)=
(3+8+13+21+34+89)|(1+2+5+55+144)=
(1+2+8+13+21+34+89)|(3+5+55+144)=
(1+2+3+5+13+21+34+89)|(8+55+144)=
(168)|(207)
◆◆◆
2、偶數項最高層魔法塔的製作
偶數項最高層魔法塔的製作可用合成法製作，僅有2種答案。
偶數2k=3+(2k-3)，2k項最高層數等於(2k-3)項最高層數的2倍。
例9：10數10層魔法塔
數列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89
第1種方法：
第1步，用前7數製作5層魔法塔
(3+21)|(1+2+5+8+13)=
(1+2+21)|(3+5+8+13)=
(3+8+13)|(1+2+5+21)=
(1+2+8+13)|(3+5+21)=
(1+2+3+5+13)|(8+21)=
第2步，用後3數製作2層魔法塔
(89)|(34+55)=
(34+55)|(89)=
第3步，將3數2層魔法塔分別加到7數5層魔法塔。
(3+21+89)|(1+2+5+8+13+34+55)=
(1+2+21+89)|(3+5+8+13+34+55)=
(3+8+13+89)|(1+2+5+21+34+55)=
(1+2+8+13+89)|(3+5+21+34+55)=
(1+2+3+5+13+89)|(8+21+34+55)=
(3+21+34+55)|(1+2+5+8+13+89)=
(1+2+21+34+55)|(3+5+8+13+89)=
(3+8+13+34+55)|(1+2+5+21+89)=
(1+2+8+13+34+55)|(3+5+21+89)=
(1+2+3+5+13+34+55)|(8+21+89)=
(113)|(118)
◆◆◆
第2種方法：
第1步，用後7數製作5層魔法塔
(13+89)|(5+8+21+34+55)=
(5+8+89)|(13+21+34+55)=
(13+34+55)|(5+8+21+89)=
(5+8+34+55)|(13+21+89)=
(5+8+13+21+55)|(34+89)=
第2步，用前3數製作2層魔法塔
(3)|(1+2)=
(1+2)|(3)=
第3步，將3數2層魔法塔分別加到7數5層魔法塔。
(3+13+89)|(1+2+5+8+21+34+55)=
(3+5+8+89)|(1+2+13+21+34+55)=
(3+13+34+55)|(1+2+5+8+21+89)=
(3+5+8+34+55)|(1+2+13+21+89)=
(3+5+8+13+21+55)|(1+2+34+89)=
(1+2+13+89)|(3+5+8+21+34+55)=
(1+2+5+8+89)|(3+13+21+34+55)=
(1+2+13+34+55)|(3+5+8+21+89)=
(1+2+5+8+34+55)|(3+13+21+89)=
(1+2+5+8+13+21+55)|(3+34+89)=
(105)|(126)
◆◆◆
(待續)

魔法塔之謎(5)

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