**魔法塔之謎**
——斐波那契數列引出的難題
天津市武清區教育局   劉光路
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★9數4層對稱魔法塔★
(3+13+55)|(1+2+5+8+21+34)=  第1層
(3+13+21+34)|(1+2+5+8+55)=  第2層
(3+5+8+55)|(1+2+13+21+34)=  第3層
(3+5+8+21+34)|(1+2+13+55)=  第4層
(71)|(71)
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★12數8層對稱魔法塔★
(3+13+55+233)(1+2+5+8+21+34+89+144)=  第1層
(3+13+55+89+144)(1+2+5+8+21+34+233)=  第2層
(3+13+21+34+233)(1+2+5+8+55+89+144)=  第3層
(3+13+21+34+89+144)(1+2+5+8+55+233)=  第4層
(3+5+8+55+233)(1+2+13+21+34+89+144)=  第5層
(3+5+8+55+89+144)(1+2+13+21+34+233)=  第6層
(3+5+8+21+34+233)(1+2+13+55+89+144)=  第7層
(3+5+8+21+34+89+144)(1+2+13+55+233)=  第8層
304)|(304)
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目錄
一、引言	3
二、魔法塔初探	4
（一）斐波那契數列的定義	4
（二）魔法塔入門知識	5
1、問題的引出	5
2、魔法塔的定義	7
3、魔法塔層數基本規律	8
4、魔法塔製作例項	9
（三）魔法塔製作方法	12
（四）最高層魔法塔的製作	16
1、奇數項最高層魔法塔的製作	16
2、偶數項最高層魔法塔的製作	20
（五）最高層魔法塔解的基本規律	25
（六）對稱魔法塔的製作方法	26
三、類自然數魔法塔	28
（一）類自然數魔法塔數列定義	28
（二）類自然數斐波那契數列魔法塔	29
（三）類自然數魔法塔的製作	30
1、奇數項類自然數魔法塔的製作	30
2、偶數項類自然數魔法塔的製作	33
（四）類自然數對稱魔法塔的製作方法	36
1、用分段取數法制作類自然數對稱魔法塔	36
2、分段取數法制作對稱魔法塔例項	37
四、魔法塔的同位解	38
（一）自然數魔法塔同位解	39
（二）、類自然數魔法塔同位解	41
（三）、對稱魔法塔的同位解	43
五、穿越法——從自然數魔法塔到類自然數魔法塔	49
六、用分段相乘法制作自然數魔法塔	54
（一）方法	54
（二）例項	55
七、分段相乘法與同位解的關係	59
（一）分段相乘法制作同位解魔法塔	59
（二）分段相乘法制作同位解魔法塔例項	60
八、分段相乘法與次高層的關係	63
（一）魔法塔次高層規律	63
（二）分段相乘法制作次高層魔法塔	63
九、回顧與展望	64
（一）回顧	64
（二）展望	66
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一、引言
1202年，義大利數學家斐波那契（1175年-1250年）寫了一本叫做《算盤書》的數學著作，書中有許多有趣的數學題，其中最有趣的是下面這個題目：
　　“如果一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔子在它出生後的第3個月裡，又能開始生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的兔子開始，1年後能繁殖成多少對兔子？”
　　斐波那契把推算得到的頭幾個數擺成一串：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……，這串數裡隱含著一個規律：從第3個數起，後面的每個數都是它前面相鄰兩個數的和；根據這個規律，只要作一些簡單的加法，就能推算出以後各個月兔子的數目了。答案是：1年後能繁殖成144對兔子。
於是，按照這個規律推算出來的數，構成了數學史上一個有名的數列；大家都叫它“斐波那契數列”，又稱“兔子數列”。
二、魔法塔初探
（一）斐波那契數列的定義
現在，我們定義一個沒有重複數字的斐波那契數列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……依次類推下去。這個數列從第三項開始，後一項都等於前面相鄰兩項之和。
斐波那契數列任何相鄰兩項，前一項與後一項之比，越來越接近黃金分割數0.618033988749895……。1÷2=0.5，2÷3=0.666…，3÷5=0.6，5÷8=0.625，8÷13=0.61538……，13÷21=0.61904……， 55÷89=0.617977…，89÷144=0.618055555…，144÷233=0.618025…。
在數學上，斐波那契數列有一個遞推關係：a(1)=1，a(2)=2，a(n)=a(n-2)+a(n-1)，n是大於2的自然數。
自然數魔法塔數列的定義：設數列有一個遞推關係：f(1)=a，f(2)=b，f(n)=f(n-2)+f(n-1)；其中，a、b是任意2個不相等的正整數，n是大於2的整數。即數列的前兩項取任意2個不相等正整數，從第三項開始，每一項都等於前面相鄰兩項之和，這樣的數列叫做自然數魔法塔數列。
（二）魔法塔入門知識
1、問題的引出
例1：斐波那契數列前4數1、2、3、5
1+2+3+5=11
將上面的等式改寫成以下2個等式
3+(1+2+5)=11
1+2+(3+5)=11
可以看出，沒有括號的等式之和是3，括號裡的等式之和是8，等式3+8=11有2種表示方式。
為方便，我們用分隔線“|”把2組數字分開，將上式簡寫成：
(3)|(1+2+5)=
(1+2)|(3+5)=
(3)|(11)，這個式子表示答案的最終結果。
◆◆◆，表示告一段落
像這樣，我們用斐波那契數列前4項數字構成了4數2層魔法塔。
斐波那契數列4數2層魔法塔還有一個答案。
(5)|(1+2+3)=
(2+3)|(1+5)=
5|6
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例2：斐波那契數列前5數1、2、3、5、8
1+2+3+5+8=19
5數2層魔法塔：
解1
(3)|(1+2+5+8)=
(1+2)|(3+5+8)=
(3)|(16)
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解2
(5)|(1+2+3+8)=
(2+3)|(1+5+8)=
(5)|(14)
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解3
(1+8)|(2+3+5)=
(1+3+5)|(2+8)=
(9)|(10)
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5數3層魔法塔：
(8)|(1+2+3+5)=
(3+5)|(1+2+8)=
(1+2+5)|(3+8)=
(8)|(11)
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像這樣易得5數最高有3層，所以5數最高層是3層。
2、魔法塔的定義
問題：將斐波那契數列前n項數1、2、3、5、8、13、21……分成A、B二組，記A組數之和為P、B組數之和為Q，P、Q分別可以表示成R種不同等式，求不同的P、Q、R及具體分組分法。
也可以這麼理解魔法塔的定義：
用Sn 表示斐波那契數列前n項之和，則
Sn=1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+……+an 
若Sn=1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+……+an =P+Q，P、Q都是等式Sn的組成部分，和為P、Q的等式都有R個，求P、Q、R的值和具體分組方法。
這個問題稱為n數R層魔法塔，由中國香港萬樹軍於2020年10月首先提出。
如果P、Q分別有m個定值，每個定值都有R個不同式子使之成立，則稱為n數R層m解魔法塔。
為方便，用(P)|(Q)記錄n數R層魔法塔的答案。
當R最大時稱為n數最高層魔法塔。
習慣上，把較小的數寫在左邊，規定P≤Q。
P小於Q時的答案叫做非對稱解，P等於Q時的答案叫做對稱解。
非對稱解構成的魔法塔叫非對稱魔法塔，對稱解構成的魔法塔叫對稱魔法塔。
P=Q時，萬樹軍老師稱為n數R層平方魔法塔，並把答案寫做(P)×(P)=P2。
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(待續)

魔法塔之謎

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