在樹上標記若干個點，求出從某個點走過全部點並回到該點的最小路徑. 有多次詢問，每次詢問只改變一個點.
首先是一個暴力的思路.
會發現，從標記點中的其中一個開始走，結果一定更優，並且無論從哪個點開始走，其結果都是相同的. 假若不考慮還要走回來，那麼答案就應該是標記點兩兩之間路徑和的最小值，至於還要走回來，可以發現走回來的最優策略相同，因此答案乘二即可.
因此這個題就轉化為求標記點兩兩之間路徑和的最小值. 考慮到：將這些點按 DFS 序排序，得到的結果會是最小的. 為了使答案最小，可以想到將相鄰的點都放到一起，或者說在這裡是將距離最近的點放到一起，因此我麼用節點在 DFS 序上的距離來刻畫實際距離，因此按 DFS 序排序.
隨後，可以想到對每一對相鄰的點跑一遍 LCA，求出簡單路徑長. 可以發現，假如我們將 \(dist(1,n)\) 也加入答案的話，正好在每個點都出入了一遍，因此求出來的正好是走一個來回的貢獻.
貼上暴力程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
namespace reader{
template<typename T>
inline void read(T& x){
x=0;bool sym=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){sym^=(c=='-');c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-48;c=getchar();}
if(sym)x=-x;
}
template<size_t N>
inline void read(char (&str)[N]){
size_t n=0;char c=getchar();
while(n<N-1&&!isspace(c)){str[n]=c;c=getchar();++n;}
str[n]=0;
}
template<typename T,size_t N>
inline void read(T (&a)[N],int range=N){
for(int i=1;i<=range;++i){read(a[i]);}
}
template<typename T,typename... Args>
inline void read(T& x,Args&... args){
read(x);read(args...);
}
template<typename T,typename T2>
inline void readarray(T& x,T2& args){
read(x);read(args,x);
}
template<typename func,typename... Args>
inline void readact(int x,function<func>fu,Args&... args){
for(int i=1;i<=x;++i){
read(args...);
fu(args...);
}
}
}
using namespace reader;
int n,m;
int fa[100001][17];
int w[100001][17];
struct edge{
int to,w;
};
int deep[100001],dfn[100001],dfncnt;
vector<edge>e[100001];
void dfs(int now,int last,int lastw,int nowdeep){
dfn[now]=++dfncnt;
deep[now]=nowdeep;
fa[now][0]=last;
w[now][0]=lastw;
for(int i=1;i<=16;++i){
fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
w[now][i]=w[fa[now][i-1]][i-1]+w[now][i-1];
}
for(edge i:e[now]){
if(i.to!=last){
dfs(i.to,now,i.w,nowdeep+1);
}
}
}
int lca(int x,int y){
// cout<<"lca "<<x<<" "<<y<<endl;
if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
int res=0;
for(int i=16;i>=0;--i){
if(deep[x]-deep[y]>=(1<<i)){
// cout<<"jump "<<x<<" "<<fa[x][i]<<" "<<w[x][i]<<endl;
res+=w[x][i];
x=fa[x][i];
}
}
// cout<<"jd "<<res<<" "<<x<<" "<<y<<endl;
if(x==y) return res;
for(int i=16;i>=0;--i){
if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
res+=w[x][i]+w[y][i];
x=fa[x][i];
y=fa[y][i];
}
}
if(x==y) return res;
return res+w[x][0]+w[y][0];
}
vector<int>g;
bool vis[100001];
signed main(){
// freopen("game1.in","r",stdin);
// freopen("out.out","w",stdout);
read(n,m);
function<void(int,int,int)>f=[](int x,int y,int z){e[x].push_back({y,z});e[y].push_back({x,z});};
int x,y,z;readact(n-1,f,x,y,z);
dfs(1,0,0,1);
while(m--){
read(x);
if(!vis[x]){
vis[x]=true;
g.push_back(x);
}
else{
vis[x]=false;
sort(g.begin(),g.end());
g.erase(lower_bound(g.begin(),g.end(),x));
}
sort(g.begin(),g.end(),[](int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];});
int ans=0;
// cout<<"g:";
// for(int i:g)cout<<i<<" ";cout<<endl;
for(int i=0;i<=(int)g.size()-2;++i){
// cout<<g.size()-2<<endl;
// cout<<g.size()<<"act "<<i<<endl;
ans+=lca(g[i],g[i+1]);
}
ans+=lca(g.front(),g.back());
printf("%lld\n",ans);
}
}
需要注意的是這裡這個 size()-2 一定要強轉，這玩意是 unsigned 減不成負數，直接給我 for 迴圈搞炸了.
然後我們來考慮正解. 注意到題目中每次詢問只改變一個點這條性質我們還沒用到，考慮改變一個點會對答案有什麼影響.
假設我們要加入一個點 \(x\)，距離 \(x\) 的 DFS 序最近的左右兩個標記點分別是 \(y,z\)，可以發現，加入前這一段是 \(dist(y,z)\)，加入後會變成 \(dist(y,x)+dist(x,z)\)，因此貢獻即為 \(dist(y,x)+dist(x,z)-dist(y,z)\)，同理，刪除點的話就變成減去. 這樣我們就把更新答案的複雜度變成 \(\log n\) 了.
做這個題的時候，調 STL 調的很難受，STL 的迭代器確實動不動就 RE
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
namespace reader{
template<typename T>
inline void read(T& x){
x=0;bool sym=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){sym^=(c=='-');c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-48;c=getchar();}
if(sym)x=-x;
}
template<size_t N>
inline void read(char (&str)[N]){
size_t n=0;char c=getchar();
while(n<N-1&&!isspace(c)){str[n]=c;c=getchar();++n;}
str[n]=0;
}
template<typename T,size_t N>
inline void read(T (&a)[N],int range=N){
for(int i=1;i<=range;++i){read(a[i]);}
}
template<typename T,typename... Args>
inline void read(T& x,Args&... args){
read(x);read(args...);
}
template<typename T,typename T2>
inline void readarray(T& x,T2& args){
read(x);read(args,x);
}
template<typename func,typename... Args>
inline void readact(int x,function<func>fu,Args&... args){
for(int i=1;i<=x;++i){
read(args...);
fu(args...);
}
}
}
using namespace reader;
int n,m;
int fa[100001][17];
int w[100001][17];
struct edge{
int to,w;
};
int deep[100001],dfn[100001],redfn[100001],dfncnt;
vector<edge>e[100001];
void dfs(int now,int last,int lastw,int nowdeep){
dfn[now]=++dfncnt;
redfn[dfncnt]=now;
deep[now]=nowdeep;
fa[now][0]=last;
w[now][0]=lastw;
for(int i=1;i<=16;++i){
fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
w[now][i]=w[fa[now][i-1]][i-1]+w[now][i-1];
}
for(edge i:e[now]){
if(i.to!=last){
dfs(i.to,now,i.w,nowdeep+1);
}
}
}
int lca(int x,int y){
// cout<<"lca "<<x<<" "<<y<<endl;
if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
int res=0;
for(int i=16;i>=0;--i){
if(deep[x]-deep[y]>=(1<<i)){
// cout<<"jump "<<x<<" "<<fa[x][i]<<" "<<w[x][i]<<endl;
res+=w[x][i];
x=fa[x][i];
}
}
// cout<<"jd "<<res<<" "<<x<<" "<<y<<endl;
if(x==y) return res;
for(int i=16;i>=0;--i){
if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
res+=w[x][i]+w[y][i];
x=fa[x][i];
y=fa[y][i];
}
}
if(x==y) return res;
return res+w[x][0]+w[y][0];
}
//vector<int>g;
bool vis[100001];
std::set<int> s;
std::set<int>::iterator it;
signed main(){
// freopen("game1.in","r",stdin);
// freopen("out.out","w",stdout);
read(n,m);
function<void(int,int,int)>f=[](int x,int y,int z){e[x].push_back({y,z});e[y].push_back({x,z});};
int x,y,z;readact(n-1,f,x,y,z);
dfs(1,0,0,1);int ans=0;
while(m--){
read(x);x=dfn[x];
if(!vis[redfn[x]]){
s.insert(x);
// g.push_back(x);
}
int y=redfn[(it=s.lower_bound(x))==s.begin()?(*--s.end()):*(--it)];
int z=redfn[(it=s.upper_bound(x))==s.end()?*s.begin():*it];
// sort(g.begin(),g.end(),[](int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];});
// auto ity=lower_bound(g.begin(),g.end(),dfn[x],[](int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];});
// auto itz=upper_bound(g.begin(),g.end(),dfn[x],[](int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];});
// int y=((ity==g.begin())?g.back():*--ity);
// int z=((itz==g.end())?*g.begin():*itz);
if(vis[redfn[x]]){
s.erase(x);
// g.erase(lower_bound(g.begin(),g.end(),dfn[x]));
}
x=redfn[x];
if(vis[x]){
vis[x]=false;
ans-=lca(x,y)+lca(x,z)-lca(y,z);
}
else{
vis[x]=true;
ans+=lca(x,y)+lca(x,z)-lca(y,z);
}
printf("%lld\n",ans);
}
}