力扣 - 劍指 Offer 47. 禮物的最大價值

linzeliang發表於2021-12-03
力扣

題目

劍指 Offer 47. 禮物的最大價值

思路1

  • 因為是要求最大價值，而且只能移動下方或者右方，因此，每個位置的最大值就是本身的值加上上邊 / 左邊 中的最大值，然後每次遍歷都可以複用上一次的值。因此我們可以得到狀態轉移方程：
    • $ dp[i][j]=\begin{matrix} max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j] \end{matrix} $
  • 我們可以建立一個行和列都要多一行的 dp 陣列，這樣子可以不用判斷條件了，但是同時也要注意 grid 中的座標都要減去 1，因為我們是從 1 開始的：

程式碼

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;
        // 建立dp陣列，讓 row 和 col 都多建立一行就可以避免判斷邊界值問題
        int dp[][] = new int[row+1][col+1];

        for (int i = 1; i <= row; i++) {
            for (int j = 1; j <= col; j++) {
                // 這裡的 grid 中 i-1 和 j-1 是因為我們是從 1 開始的，所以要減去 1 才是原始正確的位置
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
            }
        }

        // 最後直接返回陣列右下角值即可
        return dp[row][col];
    }
}

複雜度分析

  • 時間複雜度：\(O(MN)\)，
  • 空間複雜度：\(O(MN)\)，建立 dp 陣列所花費的空間

思路2

  • 然後我們可以優化一下，因為只能左走或者右走，因此第一行和第一列是固定的一條路，我們可以事先初始化計算一下第一行和第一列，到時就不用計算了。因此直接在原陣列上直接進行就可以了

程式碼

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int row = grid.length;
        int col = grid[0].length;

        // 先初始化邊界
        for (int i = 1; i < row; i++) {
            grid[i][0] += grid[i-1][0];
        }
        for (int i = 1; i < col; i++) {
            grid[0][i] += grid[0][i-1];
        }

        // 遍歷
        for (int i = 1; i < row; i++) {
            for (int j = 1; j < col; j++) {
                // 選擇左邊或者上邊
                grid[i][j] += Math.max(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);
            }
        }

        // 最後直接返回陣列右下角值即可
        return grid[row-1][col-1];
    }
}

複雜度分析

  • 時間複雜度：\(O(MN)\)，
  • 空間複雜度：\(O(1)\)，無需建立 dp 陣列

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