902.最短編輯距離

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題目描述

給定兩個字串 \(A\) 和 \(B\)，現在要將 \(A\) 經過若干操作變為 \(B\)，可進行的操作有：

1. 刪除–將字串 \(A\) 中的某個字元刪除。
2. 插入–在字串 \(A\) 的某個位置插入某個字元。
3. 替換–將字串 \(A\) 中的某個字元替換為另一個字元。

現在請你求出，將 \(A\) 變為 \(B\) 至少需要進行多少次操作。

輸入描述

第一行包含整數 \(1\leq n \leq 1000\) ，表示字串 \(A\) 的長度。
第二行包含一個長度為 \(n\) 的字串 \(A\) 。
第三行包含整數 \(1\leq m \leq 1000\) ，表示字串 \(B\) 的長度。
第四行包含一個長度為 \(m\) 的字串 \(B\) 。
字串中均只包含大小寫字母。

輸出描述

輸出一個整數，表示最少操作次數。

解題思路

根據題目很容易想到暴力求解，但是複雜度顯然不允許，可以發現長字串的變化可以由短字串得到，因此可以考慮使用動態規劃來解決這個問題。
首先建立一個二維的dp陣列，一維刪除，一維插入。 \(dp[i][0]\) 表示將前 \(i\) 個字元的字串變為空字串所需的運算元，即刪除操作的次數； \(dp[0][i]\) 表示將空字串變為前 \(i\) 個字元的字串所需的運算元，即插入操作的次數。總的來說， \(dp[i][j]\) 表示把 \(s1[1]\) - \(s1[i]\) 變成 \(s2[1]\) - \(s2[j]\) 需要操作的最少操作次數。
初始化 \(dp[0][0]\) 為 \(0\) ，表示從空字串到空字串需要操作的次數是 \(0\) 。
對於每個字元 \(s1[i]\) 和 \(s2[j]\) ，如果它們不同，則可以有三種操作：

1. 刪除 \(s1[i]\) ，即 \(dp[i-1][j]+1\)
2. 插入 \(s2[j]\) ，即 \(dp[i][j-1]+1\)
3. 替換 \(s1[i]\) 為 \(s2[j]\) ：即 \(dp[i-1][j-1]+1\)

如果它們相同，則不需要進行操作，運算元為 \(dp[i-1][j-1]\)
因此我們可以得到以下狀態轉移方程：

\[dp[i][j]=min \begin{cases} dp[i−1][j]+1 , (刪除操作) \\ dp[i][j−1]+1 , (插入操作) \\ dp[i−1][j−1]+cost , (替換操作，如果s1[i-1]==s2[j-1]，cost=0，否則cost=1) \end{cases} \]

結合上述步驟即可得到最終答案。

程式碼實現

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;
const int inf = 2e9;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    int n, m;
    std::string s1, s2;
    std::cin >> n >> s1 >> m >> s2;
    s1 = " " + s1;
    s2 = " " + s2;
    std::vector<std::vector<int>> dp(n + 1, std::vector<int>(m + 1, inf));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        dp[0][i] = i;
    }
    dp[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i][j] = std::min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
            if (s1[i] == s2[j]) {
                dp[i][j] = std::min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1]);
            } else {
                dp[i][j] = std::min(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
            }
        }
    }
    std::cout << dp[n][m];
}